Ответ:Оскільки трапеція рівнобічна, то кути при основах є рівними. Нехай цей кут дорівнює α. Тоді за властивостями кола, кут між дотичною до кола і радіусом, що його породжує, дорівнює 90°.

Отже, кут між більшою основою трапеції і бічною стороною також дорівнює 90° - α. Застосуємо теорему Піфагора для трикутника, утвореного більшою основою, бічною стороною і половиною діагоналі трапеції:

AB^2 = (BC/2)^2 + AC^2

де BC/2 - половина діагоналі трапеції, яка дорівнює AC за умовою.

Підставляємо вираз для AC з формули трикутника ABC і отримуємо:

AB^2 = (BC/2)^2 + (DE/sin(60°))^2

З іншого боку, за властивостями рівнобічної трапеції, AB = CD + DE. Підставляємо це вираз у формулу для AB^2 і отримуємо:

(AB - DE)^2 = (BC/2)^2 + (DE/sin(60°))^2

Розкриваємо дужки і спрощуємо:

AB^2 - 2AB*DE + DE^2 = BC^2/4 + DE^2/sin^2(60°)

AB*DE = BC^2/4 + DE^2*(1 - sin^2(60°))

AB*DE = BC^2/4 + DE^2*(3/4)

AB/DE = BC^2/(4DE^2) + 3/4

З іншого боку, за теоремою синусів для трикутника ADE:

DE / sin(60°) = AD / sin(α)

AD = DE*sin(α)/sin(60°)

Підставляємо це вираз у формулу для відношення AB/DE і отримуємо:

AB/DE = BC^2/(4DE^2) + 3/4

AB/(DE*sin(α)/sin(60°)) = BC^2/(4DE^2) + 3/4

AB/sin(α) = BC^2/(4DE*sin(α)) + 3/4*sin(60°)

AB/sin(α) = BC^2/(4AD) + 3/8

З іншого боку, площа трапеції дорівнює:

S = (AB+CD)*DE/2 = (AB+AB-DE)*DE/2 = AB*DE - DE^2/2

Підставляємо вираз для AB/DE з попереднього розрахунку і отримуємо:

S = (AB*DE - BC^2/(4AD) - 3/8)*DE/2

S = (AB*DE^2 - BC^2/(4sin(α)) - 3/8*DE*sin(α))/2

Залишилося знайти значення AB, DE, BC і α. Можна скористатися трикутником ADE і теоремою синусів:

DE / sin(60°) = AD / sin(α)

DE = AD*sin(60°)/sin(α)

Також можна скористатися теоремою Піфагора для трикутника ABC:

AB^2 = (BC/2)^2 + AC^2

AB^2 = (BC/2)^2 + (DE/sin(60°))^2

Звідси можна знайти AB і BC. Залишилося знайти кут α. За умовою задачі, кут BAC дорівнює 60°. Кут між більшою основою трапеції і бічною стороною дорівнює 90° - α. Тому можна записати:

tan(α) = tan(90° - BAC - 60°) = cot(BAC)

Оскільки BAC = 60°, то cot(BAC) = √3.

Таким чином, знаючи значення AB, DE, BC і α, можна обчислити площу трапеції за формулою S = (AB*DE^2 - BC^2/(4sin(α)) - 3/8*DE*sin(α))/2.

Объяснение: