Ответ:

1) D(f) = (-∞; 4) ∪ (4; +∞)

2) D(f) = x ∈ R

3) D(f) = (-∞; 2) ∪ (2; 4) ∪ (4; +∞)

4) D(f) = x ∈ [3; +∞)

5) D(f) = x ∈ {5}

6) D(f) = x ∈ R

Объяснение:

Найти область определения функций.

Надо знать два правила:

• 1. На ноль делить нельзя.
• 2. Подкоренное выражение неотрицательно.

1)

[tex]\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-4}[/tex]

х - 4 ≠ 0   ⇒   х ≠ 4

D(f) = (-∞; 4) ∪ (4; +∞)

2)

[tex]\displaystyle f(x)=\frac{9}{x^2+16}[/tex]

x² ≥ 0   ⇒ x² + 16 > 0

Здесь при любом значении х знаменатель положителен.

D(f) = x ∈ R

3)

[tex]\displaystyle f(x)=\frac{5x+1}{x^2-6x+8}\\[/tex]

[tex]\displaystyle x^2-6x+8\neq 0\\\\D=36-32=4;\;\;\;\;\;\sqrt{D}=2\\ \\x_1=\frac{6+2}{2}=4;\;\;\;\;x_2=\frac{6-2}{2}=2[/tex]

D(f) = (-∞; 2) ∪ (2; 4) ∪ (4; +∞)

4)

[tex]\displaystyle f(x)=\sqrt{x-1}+\sqrt{x-3}[/tex]

[tex]\displaystyle \left \{ {{x-1\geq 0} \atop {x-3\geq 0}} \right. \;\;\;\implies\;\;\;\left \{ {{x\geq 1} \atop {x\geq 3}} \right. \;\;\;\implies\;\;\;x\geq 3[/tex]

D(f) = x ∈ [3; +∞)

5)

[tex]\displaystyle f(x)=\sqrt{x-5}+\sqrt{5-x}[/tex]

[tex]\displaystyle \left \{ {{x-5\geq 0} \atop {5-x\geq 0}} \right. \;\;\;\implies \;\;\;\left \{ {{x\geq 5} \atop {x\leq 5}} \right. \;\;\;\implies \;\;\;x=5[/tex]

Здесь выражение имеет смысл только при х = 5

D(f) = x ∈ {5}

6)

[tex]\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2+1}[/tex]

x² ≥ 0   ⇒   x² + 1 > 0  

То есть при любом значении х подкоренное выражение положительно.

D(f) = x ∈ R