Ответ:
[tex]\bf 1.\, a)\ \ x^2+4x-5\leq 0[/tex]
Найдём нули функции : [tex]\bf x^2+4x-5=0\ \ \rightarrow \ \ x_1=-5\ ,\ x_2=1\ \ (Viet)[/tex]
Разложим на множители квадратичную функцию и запишем неравенство в виде [tex]\bf (x+5)(x-1)\leq 0[/tex] .
Неравенство решаем методом интервалов . Вычислим знаки на интервалах , образованных между нулями функции на оси .
[tex]\boldsymbol{+++[-5]---[\, 1\, ]+++}[/tex]
Так как знак неравенства [tex]\leq[/tex] , то выбираем те промежутки, где записаны минусы .
Ответ: [tex]\boldsymbol{x\in [-5\ ;\ 1\ ]}[/tex]
б) решаем неравенство аналогично предыдущему .
[tex]\bf -x^2+2x-3 > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-2x+3 > 0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 3=4-12=-8 < 0[/tex]
Так как D<0 b a=1>0 , то неравенство имеет решения при любых значениях переменной .
[tex]\boldsymbol{Otvet:\ x\in (-\infty ;+\infty \, )\ . }[/tex]
в)
[tex]\bf x^2+3x < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\, (x+3) < 0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=-3\\\\znaki:\ \ +++(-3)---(0)+++\\\\Otvet:\ x\in (-3\, ;\ 0\ )\ .[/tex]
[tex]\bf 2)\ \ y=\dfrac{1}{\sqrt{16-9x^2}}[/tex]
Область определения функции: [tex]\bf 16-9x^2 > 0\ \ ,[/tex]
[tex]\bf (4-3x)(4+3x) > 0\ \ \to \ \ \ (3x-4)(3x+4) < 0\\\\znaki:\ \ \ +++(\frac{4}{3})---(\frac{4}{3})+++\\\\Otvet:\ x\in \Big(-1\dfrac{1}{3}\ ;\ 1\dfrac{1}{3}\ \Big)\ .[/tex]
3) Решить систему неравенств .
[tex]\left\{\begin{array}{l}\bf x^2-6x > 0\\\bf 4x^2-12x+9\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x(x-6) > 0\\\bf 4x^2-12x+9\geq 0\end{array}\right\\\\\\\bf \star \ \ 4x^2-12x+9=0\ \ ,\ \ D/4=(b/2)^2-ac=6^2-4\cdot 9=0\ \ \Rightarrow \\\\(2x-3)^2=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{3}{2}\ \ ,\ \ x=1,5\\\\4(x-1,5)^2\geq 0\ \ ,\ \ \ \ +++[\, 1,5\, ]+++\ \ \ ,\ \ \ x\in (-\infty ;+\infty )\ \ \star[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}\bf x(x-6) > 0\\\bf 4(x-1,5)^2\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x\in (-\infty ;0\, )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )\\\bf x\in (-\infty ;+\infty )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\bf Otvet:\ \boldsymbol{x\in (-\infty ;\ 0\ )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )}\ .[/tex]
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
[tex]\bf 1.\, a)\ \ x^2+4x-5\leq 0[/tex]
Найдём нули функции : [tex]\bf x^2+4x-5=0\ \ \rightarrow \ \ x_1=-5\ ,\ x_2=1\ \ (Viet)[/tex]
Разложим на множители квадратичную функцию и запишем неравенство в виде [tex]\bf (x+5)(x-1)\leq 0[/tex] .
Неравенство решаем методом интервалов . Вычислим знаки на интервалах , образованных между нулями функции на оси .
[tex]\boldsymbol{+++[-5]---[\, 1\, ]+++}[/tex]
Так как знак неравенства [tex]\leq[/tex] , то выбираем те промежутки, где записаны минусы .
Ответ: [tex]\boldsymbol{x\in [-5\ ;\ 1\ ]}[/tex]
б) решаем неравенство аналогично предыдущему .
[tex]\bf -x^2+2x-3 > 0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x^2-2x+3 > 0\ \ ,\\\\D=b^2-4ac=2^2-4\cdot 3=4-12=-8 < 0[/tex]
Так как D<0 b a=1>0 , то неравенство имеет решения при любых значениях переменной .
[tex]\boldsymbol{Otvet:\ x\in (-\infty ;+\infty \, )\ . }[/tex]
в)
[tex]\bf x^2+3x < 0\ \ \Rightarrow \ \ \ x\, (x+3) < 0\ \ ,\ \ x_1=0\ ,\ x_2=-3\\\\znaki:\ \ +++(-3)---(0)+++\\\\Otvet:\ x\in (-3\, ;\ 0\ )\ .[/tex]
[tex]\bf 2)\ \ y=\dfrac{1}{\sqrt{16-9x^2}}[/tex]
Область определения функции: [tex]\bf 16-9x^2 > 0\ \ ,[/tex]
[tex]\bf (4-3x)(4+3x) > 0\ \ \to \ \ \ (3x-4)(3x+4) < 0\\\\znaki:\ \ \ +++(\frac{4}{3})---(\frac{4}{3})+++\\\\Otvet:\ x\in \Big(-1\dfrac{1}{3}\ ;\ 1\dfrac{1}{3}\ \Big)\ .[/tex]
3) Решить систему неравенств .
[tex]\left\{\begin{array}{l}\bf x^2-6x > 0\\\bf 4x^2-12x+9\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x(x-6) > 0\\\bf 4x^2-12x+9\geq 0\end{array}\right\\\\\\\bf \star \ \ 4x^2-12x+9=0\ \ ,\ \ D/4=(b/2)^2-ac=6^2-4\cdot 9=0\ \ \Rightarrow \\\\(2x-3)^2=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{3}{2}\ \ ,\ \ x=1,5\\\\4(x-1,5)^2\geq 0\ \ ,\ \ \ \ +++[\, 1,5\, ]+++\ \ \ ,\ \ \ x\in (-\infty ;+\infty )\ \ \star[/tex]
[tex]\left\{\begin{array}{l}\bf x(x-6) > 0\\\bf 4(x-1,5)^2\geq 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x\in (-\infty ;0\, )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )\\\bf x\in (-\infty ;+\infty )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\bf Otvet:\ \boldsymbol{x\in (-\infty ;\ 0\ )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )}\ .[/tex]