Verified answer

Ответ:

1)  Диффер. уравнение 1-го пор. с разделяющимися переменными .

[tex]\displaystyle \bf (1+x^2)\cdot y'+xy^2=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{xy^2}{1+x^2}\ \ ,\\\\\\\int \frac{dy}{y^2}=-\int \frac{x\, dx}{1+x^2}\ \ ,\ \ \ \int y^{-2}\, dy=-\frac{1}{2}\int \frac{d(1+x^2)}{1+x^2} \ \ ,\\\\\\-\frac{1}{y}=-\frac{1}{2}\cdot \ln(1+x^2)-C\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{1}{y}=\ln\sqrt{1+x^2}+C\ \ ,\\\\\\y=\frac{1}{ln\sqrt{1+x^2}+C}[/tex]    

2)  ЛНДУ 2-го пор. с постоянными коэффициентами со специальной правой частью .

[tex]\bf \displaystyle y''+y'-2y=18x-24[/tex]  

Cоставим характеристическое уравнение для ЛОДУ 2-го пор.

[tex]\bf \displaystyle y''+y'-2y=0\ \ \ \Rightarrow \ \ \ k^2+k-2=0\ \ ,\ \ k_1=-2\ ,\ k_2=1[/tex]  

Общее решение ЛОДУ :  [tex]\bf y_{oo}=C_1\, e^{-2x}+C_2\, e^{x}[/tex]   .

Cоставим вид частного решения ЛНДУ 2-го пор. по виду правой части .

[tex]\bf f(x)=(18x-24)\cdot e^{0\cdot x}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \widetilde{y}=Ax+B\ \ ,\ \ \widetilde{y}'=A\ \ ,\ \ \ \widetilde{y}''=0\\\\\\y''+y'-2y=0+A-2(Ax+B)=-2Ax+(A-2B)\\\\-2Ax+(A-2B)=18x-24\\\\-2A=18\ \ ,\ \ A=-9\\\\A-2B=-24\ \ ,\ \ \ 2B=A+24=-9+24=15\\\\\\ \widetilde{y}=-9x+15[/tex]  

Запишем общее решение ЛНДУ 2-го порядка :

[tex]\bf y_{o,n,}=y_{oo}+ \widetilde{y}=C_1\, e^{-2x}+C_2\, e^{x}-9x+15[/tex]