(7n+2))^(3n-4)...

July 2022 1 10 Report

Найдите предел числовой последовательности. Укажите, является ли заданная числовая последовательность бесконечно малой, бесконечно большой, ограниченной числовой последовательностью.
((7n+3)/(7n+2))^(3n-4)

Answers & Comments

DimoNTR Можно найти несколько пределов данной числовой последовательности. Для этого нужно посмотреть, что произойдет с ней при стремлении к бесконечности с разными знаками, и в "опасных" точках.

"Опасные" точки сразу видны, это:
1) $n=- \frac{2}{7}$ - знаменатель обращается в 0.
2) $n=0$ - по обычаю проверяется эта точка.

Эта числовая последовательность может быть сведена ко второму замечательному пределу для нахождения пределов:
$lim (1+ \frac{1}{x})^x=e$ (при $x$ →∞)

Выделяем целую часть в дроби:

$\frac{7n+3}{7n+2 } = 1 + \frac{1}{7n+2 }$

Используем свойство 2-го замечательного предела, но добавляем степени:

$lim (1 + \frac{1}{7n+2 })^{3n-4}$

$lim (((1 + \frac{1}{7n+2 })^{7n+2})^{ \frac{1}{7n+2}})^{3n-4} = e^{\frac{1}{7n+2} * 3n-4}$ (при $n$ →∞)

То есть мы степень не меняли: домножили и разделили.

Посчитаем, что получилось:

$e^{\frac{1}{7n+2} * 3n-4} = e^{ \frac{3n-4}{7n+2}} = e^{ \frac{n*(3-\frac{4}{n}) }{n*(7+\frac{2}{n})} } = e^{ \frac{3}{7} }$ (при $n$ →∞)

Итак:
1) $n$ →+∞ предел равен $e^{ \frac{3}{7} }$
2) $n$ →-∞ предел равен $e^{ \frac{3}{7} }$

3) $n$ →0 предел равен:
$lim ( \frac{7n+3}{7n+2})^{3n-4} = (\frac{3}{2})^{-4} = (\frac{2}{3})^{4} = \frac{16}{81}$

4) $n$ → $- \frac{2}{7}$
По правило Лопиталя имеем: 0 (не расписывал, поскольку это очень много и неважно в данном случае, нас это не интересует).

Мы видим, что при стремлении к бесконечности с разными знаками, мы имеем конечное число. В "опасных" точках, скачков нет.

Используя свойства показательной функции, находим, что график делает скачок в некотором интервале (основание должно быть неотрицательным числом, если же взять число из интервала $- \frac{3}{7} \leq x \leq - \frac{2}{7}$ - мы получаем отрицательное основание).

Можно говорить, что данная числовая последовательность является неограниченной (из-за этого интервала).

Если же этого не учитывать, то данная числовая последовательность является ограниченной (это очень грубо).

3 votes Thanks 2

Answers & Comments

8 mozhno ne raspisyvat reshenie tolko otvet

pozhalujsta pomogite najti predel funkcii lim 3 h ln1 h ln2 x stremyash

8 s obyasneniem pozhalujsta90dd601e3a0fbe0bab7142a0580438d5 89675

koren iz x2y2 dolzhno poluchitsya uravnenie giperboly

obrazuet li zadannoe mnozhestvo vektorov s estestvennymi operaciyami slozheniya i um

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social