Verified answer

Ответ:

[tex]7\, tgx-10\, ctgx+9=0\ \ ,\ \ ODZ:\ x\ne \dfrac{\pi }{2}+\pi n\ ,\ x\ne \pi k\ ,\ n,k\in Z\\\\ctgx=\dfrac{1}{tgx}\ \ \Rightarrow \ \ \ 7\, tgx-\dfrac{10}{tgx}+9=0[/tex]

Замена:  [tex]t=tgx\ ,\ \ 7t-\dfrac{10}{t}+9=0\ \ \ \to \ \ \ \dfrac{7t^2+9t-10}{t}=0\ \ ,[/tex]

 [tex]7t^2+9t-10=0\ \ ,\ \ D=b^2-4ac=81+280=361=19^2\ ,\\\\t_1=\dfrac{-9-19}{14}=-2\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{-9+19}{14}=\dfrac{5}{7}[/tex]  

Сделаем обратную замену, перейдём к старой переменной.

[tex]a)\ \ tgx=-2\ \ ,\ \ x=-arctg\, 2+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\b)\ \ tgx=\dfrac{5}{7}\ \ ,\ \ x=arctg\, \dfrac{5}{7}+\pi k\ ,\ k\in Z\\\\Otvet:\ x_1=-arctg\, 2+\pi n\ ,\ x_2=arctg\, \dfrac{5}{7}+\pi k\ ,\ n,k\in Z\ .[/tex]