Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гіпотенузою 8
см і гострим кутом 30
. У призму вписана куля. Знайдіть радіус цієї кулі.
см і гострим кутом 30
. У призму вписана куля. Знайдіть радіус цієї кулі.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
a^2 + b^2 = 8^2 = 64
Оскільки гострий кут цього трикутника дорівнює 30 градусам, то за відповідністю трикутників маємо:
b/a = tan(30°) = 1/√3
або
a/b = √3
Ми можемо використати останнє співвідношення, щоб виразити одну зі сторін трикутника через іншу:
a = b√3
Підставляючи це у вираз для суми квадратів катетів, отримуємо:
(b√3)^2 + b^2 = 64
3b^2 + b^2 = 64
4b^2 = 64
b^2 = 16
b = 4
Таким чином, сторона основи прямої призми дорівнює 4 см. Радіус вписаної кулі можна знайти за формулою:
r = (a + b + c)/6
де c - висота призми. Оскільки призма є пряма, то висота співпадає зі стороною прямокутного трикутника, яка не дорівнює гіпотенузі, тобто вона дорівнює a. Таким чином:
r = (a + b + a)/6 = (2a + b)/6 = (2b√3 + b)/6 = b(2√3 + 1)/6
Підставляючи значення b, отримуємо:
r = 4(2√3 + 1)/6 = (8√3 + 4)/6 = (4√3 + 2)/3
Отже, радіус вписаної кулі дорівнює (4√3 + 2)/3 см.