6.

[tex]\frac{x+1}{6}+\frac{20}{x-1} -4 < 0[/tex]                                

[tex]\frac{(x+1)(x-1)+20*6-4*6(x-1)}{6(x-1)} < 0[/tex]

[tex]\frac{x^{2} -1+120-24x+24}{6(x-1)} < 0[/tex]

[tex]\frac{x^{2} -24x+143}{6(x-1)} < 0[/tex]

______________________________

Найдём нули числителя:

[tex]x^{2} -24x+143=0[/tex]

[tex]D=576-4*1*143=576-572=4=2^2[/tex]

[tex]x_1=\frac{24-2}{2}=11[/tex]

[tex]x_2=\frac{24+2}{2}=13[/tex]

[tex]x^{2} -24x+143=(x-11)(x-13)[/tex]

_______________________________

Найдём нули знаменателя:

[tex]6(x-1)=0= > x=1[/tex]

__________________________

Отметим на числовой прямой нули числителя и знаменателя:

__________1___________________11______13______________

а)      На [tex](-\infty;1)[/tex] берём число 0 и подставим вместо [tex]x^[/tex]

[tex]\frac{0^{2}-24*0+143 }{6(0-1)} =-23\frac{5}{6} < 0[/tex]      знак "-"

б)   На [tex](1;11)[/tex] берём число 10 и подставим вместо [tex]x^[/tex]

[tex]\frac{10^{2}-24*10+143}{6(10-1)}=\frac{1}{18} > 0[/tex]       знак "+"

в)  На [tex](11;13)[/tex] берём число 12 и подставим вместо [tex]x^[/tex]

[tex]\frac{12^{2}-24*12+143}{6(12-1)}=-\frac{1}{66} < 0[/tex]  знак "-"

г)  На [tex](13;+\infty)[/tex] берём число 20 и подставим вместо [tex]x^[/tex]

[tex]\frac{20^{2}-24*20+143}{6(20-1)}=\frac{21}{38} > 0[/tex]    знак "+"

                   -                          +                           -                   +

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\1_____________11\\\\\\\\\\\\\\13_________

Ответ:   [tex](-\infty;1)[/tex] ∪ [tex](11;13)[/tex]  

7.

[tex]\left \{ {{x^{2} -11x+30 < 0} \atop {27-3x\leq 0}} \right. < = > \left \{ {{(x -5)(x-6) < 0} \atop {3x\geq 27}} \right. < = > \left \{ {{(x -5)(x-6) < 0} \atop {x\geq 9}} \right.[/tex]

a)    [tex](x -5)(x-6) < 0}[/tex]

               +                         -                               +  

  ___________5\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\6___________________

                                               [tex]5 < x < 6[/tex]

b)     [tex]x\geq 9[/tex]

                                                                  _________________________________9/////////////////////////////

  Общих решений нет, поэтому [tex]x\in[/tex] {∅}.  

  Ответ:  {∅}