Ответ:

x=1, y=1

Пошаговое объяснение:

[tex]x+\frac{1}{x}=\frac{4y}{y^2+1}[/tex]

[tex](x \neq 0, x>0, y>0)[/tex]

[tex]\frac{x^2+1}{x}=\frac{4y}{y^2+1}[/tex]

[tex](x^2+1)(y^2+1)=4xy[/tex]

[tex]x^2y^2+x^2+y^2+1=4xy[/tex]

[tex]x^2y^2+x^2+y^2+1-4xy=0[/tex]

[tex]x^2y^2+y^2-4xy+x^2+1=0[/tex]

[tex](x^2+1)y^2-4xy+x^2+1=0[/tex]

[tex]D_y=(-4x)^2-4(x^2+1)(x^2+1)=16x^2-4(x^2+1)^2[/tex]

[tex]D_y \ge 0[/tex]

[tex]16x^2-4(x^2+1)^2 \ge 0\ \ \ |:4[/tex]

[tex]4x^2-(x^2+1)^2 \ge 0[/tex]

[tex](2x)^2-(x^2+1)^2 \ge 0[/tex]

[tex](2x-x^2-1)(2x+x^2+1) \ge 0[/tex]

[tex]-(x^2-2x+1)(x^2+2x+1) \ge 0\ \ \ |:(-1)[/tex]

[tex](x-1)^2(x+1)^2 \le  0[/tex]

[tex]x=-1<0,\ x=1[/tex]

[tex]x+\frac{1}{x}=\frac{4y}{y^2+1}[/tex]

[tex]1+\frac{1}{1}=\frac{4y}{y^2+1}[/tex]

[tex]\frac{4y}{y^2+1}=2[/tex]

[tex]2(y^2+1)=4y\ \ \ |:2[/tex]

[tex]y^2+1=2y[/tex]

[tex]y^2-2y+1=0[/tex]

[tex](y-1)^2=0[/tex]

[tex]y=1[/tex]