Ответ:

[tex]8)\ \ y=arcsinx+arccosx\\\\y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}=0[/tex]

Можно иначе. Зная, что  [tex]arcsinx+arccosx=\dfrac{\pi }{2}[/tex]  при  [tex]x\in [-1\, ;\, 1\, ][/tex]  ,

получаем производную от константы, равную 0:  [tex]\Big(\dfrac{\pi}{2}\Big)'=0[/tex]   .

[tex]7)\ \ y=x\cdot arctgx[/tex]

Производная произведения  [tex](uv)'=u'v+uv'[/tex]  .

[tex]y'=1\cdot arctgx+x\cdot \dfrac{1}{1+x^2}[/tex]

[tex]4)\ \ y=arcsinx\cdot arctgx\\\\y'=\dfrac{arctgx}{\sqrt{1-x^2}}+\dfrac{arcsinx}{1+x^2}\\\\\\3)\ \ y=\dfrac{1}{arccos\, 2x}[/tex]

Производная дроби, у которой в числителе стоит константa:  

[tex]\Big(\dfrac{1}{v}\Big)'=-\dfrac{v'}{v^2}[/tex]     .

[tex]y'=-\dfrac{-\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}}}{arccos^2\, 2x}=\dfrac{2}{\sqrt{1-4x^2}\cdot arccos^2\, 2x}[/tex]