8 класс
1. Докажите, что при любом натуральном n:
n^3+11n делится на 6;
15^n+6 делится на 7;
5*4^2n+4*61^n делится на 9;
2. Докажите, что чётная натуральная степень числа 3, увеличенная на 7, кратна 8.
1. Докажите, что при любом натуральном n:
n^3+11n делится на 6;
15^n+6 делится на 7;
5*4^2n+4*61^n делится на 9;
2. Докажите, что чётная натуральная степень числа 3, увеличенная на 7, кратна 8.
Answers & Comments
Verified answer
1. Доказать, что при любом натуральном n значение выражения n 3 +11n делится на 6.Доказательство.1) Начало индукции. Проверим утверждение приn = 1.
13 + 11∙ 1 = 12Так как 12 : 6 = 2, тоутверждение справедливо при n = 1.
2) Индуктивноедопущение. Предположим, что утверждение справедливо
при n = k, т. е. выражение k^3+ 11k делится на 6.
3) Индуктивный шаг. Докажем, что утверждение выполняется при n = k +1. (k+1)^3 + 11(k+1) = k^3+ 3k^ 2 + 3k + 1 + 11k + 11 = (k^3 + 11k) + 3k(k + 1) +12.Первое слагаемое делится на 6. При любом натуральном k одно из чисел
k или ( k + 1) является чётным,поэтому второе слагаемое делится на 6. Третье слагаемое делится на 6.По методу математической индукции получаем, что утверждениесправедливо при любом n∈N
остальные в 1) и 2)- делать аналогично.