Verified answer

График функции " r = 5 / (6 + 3 cos (fi))" в полярной системе координат и таблица точек для его построения приведены в приложении.

Для приведения уравнения к каноническому виду надо выделить полные квадраты с учётом соотношений:

r = √(x² + y²) и cos(fi) = x/√(x² + y²).

В заданной функции r = 5 / (6 + 3 cos (fi)) заменим полярные координаты на декартовы.

√(x² + y²) = 5/(6 + (3x/√(x² + y²)).

После приведения к общему знаменателю и сокращению, получаем квадратичную функцию: 6√(x² + y²) = 5 - 3х.

Возведём обе части в квадрат.

36х² + 36у² = 25 - 30х + 9х²,

27х² + 36у² + 30х - 25 = 0.

Выделим полный квадрат по х: 27(х² + 2*(5/9)*х + (5/9)²) = 27(х + (5/9))².

Уравнение принимает вид: 27(х + (5/9))² + у² = 25 - (5/9)².

Или 27(х + (5/9))² + у² = 100/3.

Разделим все выражение на 100/3:

Получаем каноническое уравнение эллипса:

((х + (5/9))²)/(100/81) + у²/(25/27) = 1 ,

или ((х + (5/9))²)/((10/9)²) + у²/((5/3√3)²) = 1.

Полуоси эллипса:  а = (10/9), в = 5/(3√3).

Центр в точке:  C((-5/9); 0).

С учетом центра, координаты фокусов равны:

F1(-5/9+(-5/9); 0), F2(5/9+(-5/9); 0)  или F1((-10/9); 0), F2(0; 0).

Параметр c - половина расстояния между фокусами  - равен:

с = √(a² - b²) = √((100/81) - (25/27)) = 5/9.

Эксцентриситет равен:  е = с/а = (5/9)/(10/9) = 0,5.