3. Площина, яка проходить через точки A і C, утворює з площиною трикутника кут, що дорівнює арктангенсу відношення відстані від точки А до площини до сторони АВ прямокутного трикутника. Оскільки відстань від точки А до площини дорівнює 6 см, а сторона АВ дорівнює 12 см, то:
tanθ = 6/12 = 1/2
θ = 30°
Відповідь: C) 30°
4. Площина трикутника СВС1 паралельна площині ABCD, тому відстань між площинами дорівнює відстані між точкою В і площиною ABCD. Оскільки площини ABCD і ABCD1 взаємно перпендикулярні, то вони утворюють прямокутник зі сторонами AD1 і BD. За теоремою Піфагора маємо:
BD^2 + AD1^2 = AB^2 = (BD1)^2 = 8^2
AD1 = √(8^2 - BD^2)
Площа трикутника СВС1 дорівнює половині добутку довжини відрізка ВС на відстань між площинами:
S = 1/2 · BC · AD1 = 1/2 · (8/3) · √(8^2 - BD^2)
Відповідь: г) обчислити неможливо без відомостей про довжину BD.
5.Розглянемо правильні трикутники АА1С і ВВ1С, де С - точка перетину перпендикулярів. За теоремою Піфагора в правильному трикутнику бічна сторона дорівнює стороні, помноженій на корінь з двох: СА1 = 21√2, CB1 = 12√2, СВ1 = 16√2. Розглянемо трикутник АВС. Він має дві прямі кути, тому є прямокутним. Отже, за теоремою Піфагора, довжина гіпотенузи АВ дорівнює √(21^2+16^2) = √697. Відповідь: Б) 29 см.
6. Спочатку потрібно знайти координати точок АМ та ВD у тривимірному просторі.
Оскільки пряма АМ перпендикулярна до площини ABCD, то вектор АМ буде перпендикулярний до нормального вектора площини ABCD. Так як сторона АС прямокутника лежить в площині ABCD, то вектори АС і АМ будуть перпендикулярні між собою. Отже, вектор АМ буде паралельним до вектора ВD.
Нехай точка А має координати (0, 0, 0), тоді точка М має координати (0, 0, h), де h - відстань від точки А до прямої AM. Також нехай сторона АС лежить на вісі Ох, а сторона АВ лежить в площині yOz, тоді точка В має координати (0, b, c), а точка D має координати (0, b, 0), де b - довжина сторони АВ, а c - довжина сторони АD.
Вектори АМ та ВD:
AM = (0, 0, h)
VD = (0, b, -c)
Оскільки вектори АМ та ВD паралельні між собою, то їх скалярний добуток буде дорівнювати добутку довжин векторів.
AM * VD = |AM| * |VD|
(0, 0, h) • (0, b, -c) = h * √(b^2 + c^2)
0 + 0 - hc = h * √(b^2 + c^2)
h^2 = c^2 + b^2
h = √(c^2 + b^2)
Тепер за теоремою Піфагора можна обчислити відстань між прямими АМ та ВD:
BD = √(b^2 + c^2)
Отже, відповідь: BD = √(6^2 + 8^2) = √100 = 10 см, тобто варіант А) 10 см.
Answers & Comments
1. Оскільки кут між похилою ВС і площиною дорівнює 60°, то довжина проекції похилої дорівнює половині відстані від точки В до площини:
AB = BC = 8/3 см
AC = 2AB = 16/3 см
Відповідь: А) 4,3 см
2.За теоремою косинусів для трикутника BCD маємо:
CD^2 = BC^2 + BD^2 - 2BC·BD·cos60° = (4/3)^2 + 4.3^2 - 2(4/3)(4.3)(1/2) = 18.49
CD = √18.49 = 4.3 см
Відповідь: А) 3 см
3. Площина, яка проходить через точки A і C, утворює з площиною трикутника кут, що дорівнює арктангенсу відношення відстані від точки А до площини до сторони АВ прямокутного трикутника. Оскільки відстань від точки А до площини дорівнює 6 см, а сторона АВ дорівнює 12 см, то:
tanθ = 6/12 = 1/2
θ = 30°
Відповідь: C) 30°
4. Площина трикутника СВС1 паралельна площині ABCD, тому відстань між площинами дорівнює відстані між точкою В і площиною ABCD. Оскільки площини ABCD і ABCD1 взаємно перпендикулярні, то вони утворюють прямокутник зі сторонами AD1 і BD. За теоремою Піфагора маємо:
BD^2 + AD1^2 = AB^2 = (BD1)^2 = 8^2
AD1 = √(8^2 - BD^2)
Площа трикутника СВС1 дорівнює половині добутку довжини відрізка ВС на відстань між площинами:
S = 1/2 · BC · AD1 = 1/2 · (8/3) · √(8^2 - BD^2)
Відповідь: г) обчислити неможливо без відомостей про довжину BD.
5.Розглянемо правильні трикутники АА1С і ВВ1С, де С - точка перетину перпендикулярів. За теоремою Піфагора в правильному трикутнику бічна сторона дорівнює стороні, помноженій на корінь з двох: СА1 = 21√2, CB1 = 12√2, СВ1 = 16√2. Розглянемо трикутник АВС. Він має дві прямі кути, тому є прямокутним. Отже, за теоремою Піфагора, довжина гіпотенузи АВ дорівнює √(21^2+16^2) = √697. Відповідь: Б) 29 см.
6. Спочатку потрібно знайти координати точок АМ та ВD у тривимірному просторі.
Оскільки пряма АМ перпендикулярна до площини ABCD, то вектор АМ буде перпендикулярний до нормального вектора площини ABCD. Так як сторона АС прямокутника лежить в площині ABCD, то вектори АС і АМ будуть перпендикулярні між собою. Отже, вектор АМ буде паралельним до вектора ВD.
Нехай точка А має координати (0, 0, 0), тоді точка М має координати (0, 0, h), де h - відстань від точки А до прямої AM. Також нехай сторона АС лежить на вісі Ох, а сторона АВ лежить в площині yOz, тоді точка В має координати (0, b, c), а точка D має координати (0, b, 0), де b - довжина сторони АВ, а c - довжина сторони АD.
Вектори АМ та ВD:
AM = (0, 0, h)
VD = (0, b, -c)
Оскільки вектори АМ та ВD паралельні між собою, то їх скалярний добуток буде дорівнювати добутку довжин векторів.
AM * VD = |AM| * |VD|
(0, 0, h) • (0, b, -c) = h * √(b^2 + c^2)
0 + 0 - hc = h * √(b^2 + c^2)
h^2 = c^2 + b^2
h = √(c^2 + b^2)
Тепер за теоремою Піфагора можна обчислити відстань між прямими АМ та ВD:
BD = √(b^2 + c^2)
Отже, відповідь: BD = √(6^2 + 8^2) = √100 = 10 см, тобто варіант А) 10 см.