80 баллов - Помогите пожалуйста, срочно:
Дан параллелограмм ABCD, в котором из середины его стороны BC точки H проведены два отрезка к вершинам противоположной стороны. Докажи, что все углы этого параллелограмма равны между собой, если указанные отрезки равны.
Моя учительница может придраться ко всему, так что лучше доказывать более менее понятна...
Дан параллелограмм ABCD, в котором из середины его стороны BC точки H проведены два отрезка к вершинам противоположной стороны. Докажи, что все углы этого параллелограмма равны между собой, если указанные отрезки равны.
Моя учительница может придраться ко всему, так что лучше доказывать более менее понятна...
Answers & Comments
Отезки HD & HE — равны, и также проведены с середины стороны CB.
Точка H — делит сторону CB пополам, то есть:
Треугольники CDH & HEB — равны. Не поверите? Сейчас объясню:
Так как: (HD ≡ HE); (CH ≡ HB); (CD ≡ BE (так как стороны ромба — равны)), то по третьему признаку равенства треугольников: ΔCHD ≡ ΔHBE.
Так как отрезки HD & HE — равны, то треугольник EHD — равнобедренный.
Проведём с вершины, противоположной основанию(точка H) — медиану: отрезок HK.
Теперь: DK ≡ KE.
И так как треугольник — равнобедренный, то: высота, медиана, и биссектриса, проведённая с вершины, противоположной основанию — одно и то же.
То есть: HK — высота, которая образует 2 прямоугольник треугольника: ΔHKE & ΔHDK.
Эти треугольники друг другу равны по трём сторонам: (DK ≡ KE); (HD ≡ HE); (HK — общая).
Так же: ΔCHD = ΔHEB = ΔHKE = ΔHDK, опять же: по трём сторонам.
Что и означает, что: ΔHCD & HBE — прямоугольные, и так как ABCD —ромб, то:
То есть: соседные углы равны, что и означает, что:
И так как ромб — имеет равны стороны, то: ABCD = квадрат.