Ответ:

Нехай дана трапеція з бічними сторонами a та b, діагоналями p та q, та висотою h.
Сума квадратів бічних сторін:
a^2 + b^2
Квадрат діагоналі p:
p^2 = (a + b)^2 + h^2
Квадрат діагоналі q:
q^2 = (a - b)^2 + h^2
Тоді сума квадратів діагоналей дорівнює:
p^2 + q^2 = (a + b)^2 + h^2 + (a - b)^2 + h^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2h^2 = 2(a^2 + b^2 + h^2)
А сума квадратів бічних сторін трапеції:
a^2 + b^2
Подвоєний добуток основ:
2ab
Тоді сума квадратів бічних сторін + подвоєний добуток основ дорівнює:
a^2 + b^2 + 2ab
Таким чином, ми отримали:
p^2 + q^2 = 2(a^2 + b^2 + h^2) = a^2 + b^2 + 2ab = (a^2 + b^2) + 2ab
Отже, сума квадратів діагоналей трапеції дорівнює сумі квадратів її бічних сторін + подвоєний добуток її основ.