Ответ:

Решить тригонометрическое уравнение .  

Применяем формулу синуса двойного угла и основное тригономет- рическое тождество :

[tex]\bf sin2x=2\cdot sinx\cdot cosx\ \ ,\ \ sin^2x+cos^2x=1[/tex]        

[tex]\bf 1)\ \ sin^2x+sin2x=1\\\\sin^2x+2\, sinx\cdot cosx=sin^2x+cos^2x\\\\2\, sinx\cdot cosx-cos^2x=0\\\\cosx\cdot (2\, sinx-cosx)=0\\\\a)\ \ cosx=0\ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ 2\, sinx-cosx=0\ \ \Big|:cosx\ne 0\\\\2\, tgx-1=0\ \ ,\ \ \ tgx=\dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ x=arctg\dfrac{1}{2} +\pi k\ \ ,\ \ k\in Z\\\\Otvet:\ x_1=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ x=arctg\dfrac{1}{2}+\pi k\ \ ,\ n,k\in Z\ .[/tex]            

[tex]\bf 2)\ \ cos^2x-sin2x=1\\\\cos^2x-2\, sinx\cdot cosx=sin^2x+cos^2x\\\\2\, sinx\cdot cosx+sin^2x=0\\\\sinx\cdot (2\, cosx+sinx)=0\\\\a)\ \ sinx=0\ ,\ \ x=\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ 2\, cosx+sinx=0\ \ \Big|:cosx\ne 0\\\\2+tgx=0\ \ ,\ \ \ tgx=-2\ \ ,\ \ x=-arctg\, 2 +\pi k\ \ ,\ \ k\in Z\\\\Otvet:\ x_1=\pi n\ \ ,\ \ x=-arctg\, 2+\pi k\ \ ,\ n,k\in Z\ .[/tex]