Ответ:

См. Объяснение

Объснение:

Все доказательства основываются на равенстве углов, которые образуются при пересечении двух прямых линий третьей.  

На рис. 1 проведены две прямые линии - а и в; их пересекает наклонная прямая линия с, которая называется секущей.

В результате такого пересечения образовалось 8 углов, которые надо рассматривать парами. Причем, всё равно, в какой последовательности.

Давай начнём с пары углов, которые образовались при пересечении линии а (она находится наверху) и секущей с. Любая линия - это развёрнутый угол, который всегда равен 180 градусам. Это значит, что если один из смежных углов (то есть лежащих на одной линии) равен 60°, то смежный с ним угол, обозначенный номером 1, равен:

180 - 60 = 120°.

Рассмотрим вторую пару - угол 60 ° и угол, обозначенный номером 2. Эти углы называются вертикальными - они образованы пересечением двух прямых и лежат друг против друга. Вертикальные углы равны.

Это значит, что угол 2 равен 60°.

Чему равен угол 3? Его можно рассчитать по-разному:

- можно рассматривать как смежный с углом 60° и тогда он равен:

∠3 = 180° - 60° = 120°;

- можно рассматривать как вертикальный с углом 1 - и тогда он равен углу 1:

∠3 = ∠1 = 120°;

- можно рассматривать как смежный с углом 2 - и тогда он равен:

∠3 = 180° - ∠2 = 180° - 60° = 120°.

Но как бы мы его ни считали, - ответ всегда будет одним и тем же.

Теперь рассчитаем угол 4, образованный при пересечении линии в и секущей с:

∠ 4 = 180° - 120° = 60°.

Все другие углы, образованные при пересечении линии в и секущей с, можно не считать, так как они не обозначены. А нам полученных значений углов достаточно для того, чтобы сказать, что прямые а и в параллельны, то есть не пересекаются.

Необходимо запомнить названия пар углов, которые образуются при пересечении параллельных прямых секущей, а также свойства этих углов.

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

внутренние накрест лежащие углы равны;

внутренних накрест лежащих углов всегда две пары; на рисунке 1 - это углы 2 и 4 (∠2 = ∠4), а также угол 3 и угол 120° (∠3 = ∠120°);

сумма внутренних односторонних углов равна  180°;

внутренних односторонних углов всегда две пары: на рисунке 1 - это углы 3 и 4 (∠3+∠4 =180°), а также углы 2 и 120°  (∠2 + ∠120° = 180° ;

соответственные углы равны;

соответственных углов больше всего - их 4 пары; на рисунке 1 - это угол 1 и угол 120° (∠1 = ∠120°); угол 2 и тот угол, который ниже угла 120°, смежный с ним; угол 60° и угол 4 (∠60° = ∠4); угол 3 и угол, который  ниже угла 4 (смежный с углом 4);

внешние накрест лежащие углы равны;

таких углов 2 пары; на рисунке 1 - это углы 2 и 4 (∠2 = ∠4), а также угол 3 и угол 120 ° (∠3 = ∠120°);

сумма внешних односторонних углов равна  180°;

таких углов 2 пары; на рисунке 1  - это угол 1 и тот, который слева внизу, смежный с углом 120° ; а вторая пара - это угол 60°, а также тот, который справа внизу, смежный с углом 4.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВА.

Рис. 1

∠2 = ∠60° - как углы вертикальные.

∠2 + ∠120° = 180°.

Так как ∠2 и ∠120°, образованные  при пересечении прямых а и в секущей с, являются внутренними односторонними углами, и их сумма равна 180°, то это означает, что а║в, что и требовалось доказать.

Рис. 2

На данном рисунке внешние накрест лежащие углы, образованные при пересечении прямых а и с секущей в, равны между собой (конкретно - равны 40 °).

Это означает, что а║с, что и требовалось доказать.  

Рис. 3

1) По отношению к прямым а и в прямая m является секущей.

Так как внутренние накрест лежащие углы 1 и 2, образованные при пересечении прямых а и в секущей m, равны между собой (∠1 = ∠2), то это означает, что а║в, что и требовалось доказать.    

2) По отношению к прямым m и n прямая a является секущей.

Так как соответственные углы 1 и 3, образованные при пересечении прямых m и n секущей a, равны между собой (∠1 = ∠3), то это означает, что m║n, что и требовалось доказать.