[tex]\displaystyle \frac{ a^{2n} +1}{2}\geqslant a^n ~ \big |\cdot 2 \\\\ a^{2n} - 2a^n + 1 \geqslant 0 \\\\ (a^n -1)^2 \geqslant 0[/tex]

Это неравенство интерпретация неравенства Коши :

[tex]x ^2+ y^2\geqslant 2xy \\\\ x^2+y^2 -2 xy \geqslant 0 \\\\ (x-y)^2 \geqslant 0[/tex]

Соответственно оно  верное .