Ответ:

[tex]\dfrac{4^{4n + 2}-1}{15 \cdot 4^{2n }} -2n - 1[/tex]

Объяснение:

Найдите сумму :

[tex]\displaystyle \bigg ( 4- \frac{1}{4} \bigg ) ^2 + \bigg ( 4^2- \frac{1}{4^2} \bigg ) ^2 + \bigg ( 4^3- \frac{1}{4^3} \bigg ) ^2 + \ldots \bigg ( 4^n- \frac{1}{4^n} \bigg ) ^2[/tex]

Заметим

[tex]\displaystyle \bigg ( 4- \frac{1}{4} \bigg ) ^2 = 4^2 - 2\cdot 4\cdot \frac{1}{4 } + \frac{1}{4^2} = 4^2 + \frac{1}{4^2} - 2 \\\\\\\ \bigg ( 4^2- \frac{1}{4^2} \bigg ) ^2 = 4^4 - 2\cdot 4^2\cdot \frac{1}{4^2 } + \frac{1}{4^4} = 4^4 + \frac{1}{4^4} - 2 \\\\\\ \bigg ( 4^3- \frac{1}{4^3} \bigg ) ^2 = 4^6 + \frac{1}{4^6} - 2 \\\\ \dots \\\\\bigg ( 4^n- \frac{1}{4^n} \bigg ) ^2 = 4^{2n} + \frac{1}{4^{2n}} - 2[/tex]

Что данная сумма нам даст ,  сумму двух геометрических прогрессий , одна из которых возрастающая , а другая  убывающая и также  (-2n) ,  поскольку кол-во двоек равно кол-ву скобок  

[tex]\displaystyle \ 4^2 + \frac{1}{4^2} - 2 +4^4 + \frac{1}{4^4} - 2 +4^6 + \frac{1}{4^6} - 2 + \ldots +4^{2n} + \frac{1}{4^{2n}} - 2 = \\\\\ (4^2 + 4^4 + 4^6 +\ldots + 4^{2n}) + \bigg(\frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^4}+ \frac{1}{4^6 }+ \ldots + \frac{1}{4^{2n}} \bigg) - 2n[/tex]

Сумму для [tex]4^2 + 4^4 + 4^6 +\ldots + 4^{2n}[/tex]

Можно посчитать по формуле

[tex]S = \dfrac{b_1(1-q^n )}{1-q}[/tex]

В нашем случае кол-во членов равно  n ,  q = 4² ,  b₁ = 4²

[tex]S = \dfrac{4^2 (1- 4^{2n})}{1-4^2}= \dfrac{16}{15} \cdot (4^{2n }-1) = \dfrac{4^{2n + 2}}{15} - \dfrac{16}{15}[/tex]

C  убывающей  прогрессией   [tex]\displaystyle \frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^4}+ \frac{1}{4^6 }+ \ldots + \frac{1}{4^{2n}}[/tex]  

поступаем аналогично

Кол-во членов также равно n ,  а знаменатель  [tex]q = \dfrac{1}{4^2}[/tex]   и  [tex]b_1 = \dfrac{1}{4^2}[/tex]

[tex]S = \dfrac{ \dfrac{1}{4 ^2} \bigg ( 1-\dfrac{1}{4^{2n}} \bigg ) }{1-\dfrac{1}{4^2} } = \dfrac{1}{15}\bigg ( 1-\dfrac{1}{4^{2n}} \bigg )= \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{15\cdot 4^{2n}}[/tex]

И наконец , мы можем перейти к нахождению данной суммы

[tex]\displaystyle (4^2 + 4^4 + 4^6 +\ldots + 4^{2n}) + \bigg(\frac{1}{4^2}+ \frac{1}{4^4}+ \frac{1}{4^6 }+ \ldots + \frac{1}{4^{2n}} \bigg) - 2n =\\\\\\\ = \dfrac{4^{2n + 2}}{15} - \dfrac{16}{15} + \dfrac{1}{15} - \dfrac{1}{15\cdot 4^{2n}} - 2n = \frac{4^{2n + 2}}{15} - \dfrac{1}{15\cdot 4^{2n}}-2n - 1 =\boxed{ \dfrac{4^{4n + 2}-1}{15 \cdot 4^{2n }} -2n - 1}[/tex]

#SPJ1