Verified answer

Условие:

Плоскости [tex]\alpha[/tex] и [tex]\beta[/tex] перпендикулярны. Точка [tex]A[/tex] лежит в плоскости [tex]\alpha[/tex], точка [tex]B[/tex] - в плоскости [tex]\beta[/tex]. Расстояния от точек [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex] до прямого пересечения этих плоскостей равны соответственно 6 см и 12 см, расстояние между проекциями точек [tex]A[/tex] и [tex]B[/tex]  на эту прямую равно 12 см. Найти углы, которые образует отрезок с данными плоскостями. Углы объяснить. ​

Решение:

По определению угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

[tex]BA[/tex] - участок прямой, ограниченный двумя точками
[tex]BA_1[/tex] - проекция отрезка [tex]BA[/tex] на плоскость [tex]\beta[/tex]
[tex]AB_1[/tex] - проекция отрезка [tex]BA[/tex] на плоскость [tex]\alpha[/tex]
Угол между отрезком [tex]BA[/tex] и плоскостью [tex]\beta[/tex] это ∠[tex]ABA_1[/tex]
Угол между отрезком [tex]BA[/tex] и плоскостью [tex]\alpha[/tex] это ∠[tex]BAB_1[/tex]

Найдём стороны

Рассмотрим треугольник [tex]A_1BB_1[/tex]
∠[tex]BB_1A_1=90^o[/tex] так как [tex]BB_1[/tex] - проекция на [tex]A_1B_1[/tex], т.е. перпендикуляр
[tex]BB_1=12[/tex] см и [tex]B_1A_1=12[/tex] см по условию
Таким образом треугольник [tex]A_1BB_1[/tex] равнобедренный, тогда
[tex]BA_1=\frac{12}{\frac{1}{\sqrt{2} } } =12\sqrt{2}[/tex] см

Рассмотрим треугольник [tex]A_1AB_1[/tex]
∠[tex]AA_1B_1=90^o[/tex] так как [tex]AA_1[/tex] - проекция на [tex]A_1B_1[/tex], т.е. перпендикуляр к плоскости [tex]\beta[/tex]
[tex]AA_1=6[/tex] см и [tex]B_1A_1=12[/tex] см по условию, тогда
[tex]AB_1=\sqrt{AA_1^2+B_1A_1^2}=\sqrt{36+144}= \sqrt{180} =6\sqrt{5}[/tex]  см

Найдём углы

Рассмотрим треугольник [tex]BA_1A[/tex]
[tex]AA_1[/tex]⊥[tex]BA_1[/tex] так как [tex]\alpha[/tex]⊥[tex]\beta[/tex], то есть ∠[tex]BA_1A=90^o[/tex]
[tex]AA_1=6[/tex] см по условию, [tex]BA_1=12\sqrt{2}[/tex] см по доказанному, тогда
[tex]tg[/tex]∠[tex]ABA_1=\frac{AA_1}{BA_1}=\frac{6}{12\sqrt{2} } =\frac{1}{2\sqrt{2} }[/tex]

Рассмотрим треугольник [tex]AB_1B[/tex]
[tex]AB_1[/tex]⊥[tex]BB_1[/tex] так как [tex]\alpha[/tex]⊥[tex]\beta[/tex], то есть ∠[tex]AB_1B=90^o[/tex]
[tex]BB_1=12[/tex] см по условию, [tex]B_1A=6\sqrt{5}[/tex] см
[tex]tg[/tex]∠[tex]BAB_1=\frac{BB_1}{AB_1} =\frac{12}{6\sqrt{5} } =0.4\sqrt{5}[/tex]

Ответ:

тангенс угла с плоскостью [tex]\beta[/tex] равен [tex]\frac{1}{2\sqrt{2} }[/tex]

тангенс угла с плоскостью [tex]\alpha[/tex] равен [tex]0.4\sqrt{5}[/tex]