Решение.

[tex]\bf 1.\ \ \underline{tg(a-\beta )}+tga\cdot tg\beta \cdot \underline{tg(a-\beta )}=\underline{tg(a-\beta )}\cdot \Big(1+tga\cdot tg\beta \Big)=\\\\\\=\dfrac{tga-tg\beta }{1+tga\cdot tg\beta }\cdot (1+tga\cdot tg\beta )=tga-tg\beta \\\\\\tga-tg\beta =tga-tg\beta[/tex]

Применили формулу тангенса разности .

[tex]\bf 2.\ \ sina=\dfrac{1}{3}\\\\sin^2a+cos^2a=1\ \ \Rightarrow \ \ \ cos^2a=1-sin^2a=1-\dfrac{1}{9}=\dfrac{8}{9}[/tex]  

Угол лежит во 2 четверти, значит  [tex]\bf cosa < 0[/tex]   и   [tex]\bf cosa=-\dfrac{2\sqrt2}{3}[/tex]  .

[tex]\bf sin2a=2\cdot sina\cdot cosa=2\cdot \dfrac{1}{3}\cdot \dfrac{-2\sqrt2}{3}=-\dfrac{4\sqrt2}{9}\\\\\\cos2a=1-2sin^2a=1-2\cdot \dfrac{1}{9}=\dfrac{7}{9}[/tex]

3.  

[tex]\displaystyle \bf a.\ \ \Big(\frac{cosa}{1-sina}+\frac{cosa}{1+sina}\Big)\cdot \frac{1}{\, 1+tg^2a}=\\\\\\=\frac{cosa+sina\cdot cosa+cosa-sina\cdot cosa}{(1-sina)(a+sina)}\, \cdot \, cos^2a=\frac{2\cdot cosa}{1-sin^2a}\cdot cos^2a=\\\\\\=\frac{2\cdot cos^3a}{cos^2a}=2\cdot cosa[/tex]  

Применили основное тригонометрическое тождество:

[tex]\bf sin^2a+cos^2a=1\ \ \Rightarrow \ \ cos^2a=1-sin^2a[/tex]   и  [tex]\bf 1+tg^2a=\dfrac{1}{cos^2a}[/tex]   .

[tex]\displaystyle \bf b.\ \ (1-cos2a)\cdot tg\Big(\pi -a\Big)=[/tex]

Применим формулы приведения и косинуса двойного угла.

[tex]\bf =\Big(1-(1-2sin^2a)\Big)\cdot \Big(-tga\Big)=2sin^2a\cdot \dfrac{-sina}{cosa}=-\dfrac{2\cdot sin^3a}{ cosa}[/tex]