Verified answer

Функция [tex]y=f(x)[/tex] называется убывающей на некотором промежутке, если для любых значений [tex]x_2 > x_1[/tex] из этого промежутка выполняется условие [tex]f(x_2) < f(x_1)[/tex]. Другими словами, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

По условию функция [tex]y=f(x)[/tex] убывает.

Пусть [tex]x_2 > x_1[/tex]. Тогда, [tex]f(x_2) < f(x_1)[/tex].

а)

Рассмотрим функцию [tex]y=a+f(x)[/tex]. Воспользуемся известным соотношением:

[tex]f(x_2) < f(x_1)[/tex]

К обеим частям неравенства прибавим [tex]a[/tex]. К обеим частям любого неравенства можно прибавить любое число, знак неравенства при этом не изменяется:

[tex]a+f(x_2) < a+f(x_1)[/tex]

Заметим, что в левой части теперь записано значение рассматриваемой функции в точке [tex]x_2[/tex], а в правой части - в точке [tex]x_1[/tex].

[tex]y(x_2) < y(x_1)[/tex]

Поскольку большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция [tex]y=a+f(x)[/tex] убывает.

б)

Рассмотрим функцию [tex]y=kf(x)[/tex] при [tex]k > 0[/tex]. Вновь воспользуемся известным соотношением:

[tex]f(x_2) < f(x_1)[/tex]

Обе части неравенства умножим на [tex]k > 0[/tex]. При умножении обеих частей неравенства на положительное число, знак неравенства не изменяется:

[tex]kf(x_2) < kf(x_1)[/tex]

Вновь в левой части оказалось записано значение рассматриваемой функции в точке [tex]x_2[/tex], а в правой части - в точке [tex]x_1[/tex].

[tex]y(x_2) < y(x_1)[/tex]

Поскольку большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то функция [tex]y=kf(x)[/tex] при [tex]k > 0[/tex] убывает.

в)

Рассмотрим функцию [tex]y=-f(x)[/tex]. Воспользуемся известным соотношением:

[tex]f(x_2) < f(x_1)[/tex]

Обе части неравенства умножим на (-1). Поскольку происходит умножение на отрицательное число, то знак неравенства поменяется на противоположный:

[tex]-f(x_2) > -f(x_1)[/tex]

По аналогии, в левой части мы видим значение рассматриваемой функции в точке [tex]x_2[/tex], а в правой части - в точке [tex]x_1[/tex].

[tex]y(x_2) > y(x_1)[/tex]

Поскольку большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция [tex]y=-f(x)[/tex] возрастает.

г)

Рассмотрим функцию [tex]y=kf(x)[/tex] при [tex]k < 0[/tex]. Воспользуемся известным соотношением:

[tex]f(x_2) < f(x_1)[/tex]

Обе части неравенства умножим на [tex]k < 0[/tex]. Поскольку происходит умножение на отрицательное число, то знак неравенства поменяется на противоположный:

[tex]kf(x_2) > kf(x_1)[/tex]

В левой части записано значение рассматриваемой функции в точке [tex]x_2[/tex], а в правой части - в точке [tex]x_1[/tex].

[tex]y(x_2) > y(x_1)[/tex]

Поскольку большему значению аргумента соответствует большее значение функции, то функция [tex]y=kf(x)[/tex] при [tex]k < 0[/tex] возрастает.

Можно было заметить, что пункт в) является частным случаем пункта г) при [tex]k=-1[/tex]. Поэтому, если доказан пункт г), то пункт в) доказан автоматически.