Решение.

Задана прямоугольная область . Вычислить двойной интеграл по этой области .

[tex]\displaystyle 0\leq x\leq 4\ \ ,\ \ 1\leq y\leq e\\\\\iint\limits_{D}\ x\cdot lny\cdot dx\, dy=\int\limits_0^4\, x\, dx \int\limits^e_1\, lny\, dy=\\\\\\\ast \ \ \int lny\, dy=\Big[\ u=lny\ ,\ du=\frac{dy}{y}\ ,\ dv=dy\ ,\ v=y\ ,\ \int u\, dv=uv-\int v\, du\ \Big]=\\\\\\=y\cdot lny-\int y\cdot \frac{dy}{y}=y\cdot lny-y+C\ \ \ast\\\\\\=\int\limits_0^4\, \Big(y\cdot lny-y\Big)\Big|_1^{e}\, dx=\int\limits_0^4\Big(e\cdot lne-e-1\cdot ln1+1\Big)\, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle =\int\limits_0^4\Big(\underbrace{e-e-0+1}_{1}\Big)\, dx=\int\limits_0^4\, dx=x\, \Big|_0^4=4-0=4[/tex]