Ответ:

а) D(f) = {x, x∈R}

б) D(f) = {x, x∈R}

в) D(f) = {x, x∈R: x≠2;  x≠ (-2)}

г) D(f) = {x, x∈R: x≠1;  x≠ (-3)}

д)  D(f) = {x, x∈R: x ≥ (-3)}

е)  D(f) = {x, x∈R: x ≥ 5}

ж) D(f) = {x, x∈R: x ≥ 1}

з) D(f) = {x, x∈R: x ∈ (-∞; 3] ∪ [6; +∞)}

Объяснение:

определение:

• область определения функции f(х) - это множество всех значений аргумента х, на котором функция f(х) существует или определена.

Итак, поехали...

а) f(x) = x - 2.

Данная функция существует для ∀х на множестве действительных чисел.

Область Определения Функции (ООФ):   D(f) = {x, x∈R}

б)   [tex]\displaystyle f(x) = \frac{2-x}{3}[/tex]

Данная функция существует для ∀х на множестве действительных чисел.

ООФ:   D(f) = {x, x∈R}

в)  [tex]\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2-4};[/tex]

Данная функция не существует для тех значений х, которые превращают знаменатель в 0.

Т.е.  (x² - 4) ≠ 0;   x ≠ ±2

 ООФ:   D(f) = {x, x∈R: x≠2;  x≠ (-2)}

г)  [tex]\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2+2x -3};[/tex]

Данная функция не существует для тех значений х, которые превращают знаменатель в 0.

x² + 2x -3 ≠ 0

Найдем корни уравнения x² + 2x -3 = 0

Применим теорему Виета

х₁ * х₂ = -3

х₁ + х₂ = -2        ⇒  х₁=1;   х₂ = (-3)

И тогда

 ООФ:   D(f) = {x, x∈R: x≠1;  x≠ (-3)}

д) [tex]\displaystyle f(x) = \sqrt{x+3}[/tex]

Данная функция не существует для тех значений х, которые превращают подкоренное выражение в отрицательное число.

х + 3 <  0 ; x < (-3)

И тогда

ООФ:   D(f) = {x, x∈R: x ≥ (-3)}

е)    [tex]\displaystyle f(x)= \frac{x-2}{4x+12} +\sqrt{x-5}[/tex];  

Здесь у нас два условия, которые налагаются на аргумент х.

И они должны выполняться одновременно.

Поэтому мы получаем систему уравнений.

В данной системе мы рассмотрим каким должен быть аргумент.

[tex]\displaystyle \left \{ {{4x +12 \neq 0 } \atop {x-5}\geq 0} \right. \left \{ {{x\neq (-3)} \atop {x\geq 5 \hfill }} \right. \qquard \Rightarrow \qquad x\geq 5[/tex]

И тогда

 ООФ:   D(f) = {x, x∈R: x ≥ 5}

ж)  [tex]\displaystyle f(x) = \frac{5}{6+2x} +\sqrt{x-1}[/tex]

Всё аналогично примеру е)

[tex]\displaystyle \left \{ {{6+2x \neq 0 } \atop {x-1}\geq 0} \right. \left \{ {{x\neq (-3)} \atop {x\geq 1 \hfill }} \right. \qquard \Rightarrow \qquad x\geq 1[/tex]

ООФ:   D(f) = {x, x∈R: x ≥ 1}

з)  [tex]\displaystyle f(x)=\sqrt{x^2-9x+18}[/tex]

Здесь должно быть  x² - 9x +18 ≥ 0, чтобы не превращать подкоренное выражение в отрицательное число.

Решаем неравенство методом интервалов.

Сначала решаем уравнение x² - 9x +18 = 0,

По теореме Виета

х₁ * х₂ = 18

х₁ + х₂ = 9

И тогда ответ х₁ = 3;   х₂ = 6

По методу интервалов наносим корни уравнения на координатную прямую и смотрим на каких интервалах функция больше или рана 0.

Рисунок прилагаю.

И ответ на решение неравенства  

х ≤ 3 и х ≥ 6.

И тогда

ООФ:   D(f) = {x, x∈R: x ∈ (-∞; 3] ∪ [6; +∞)}