Ответ:

1) Табличный интеграл .

[tex]\bf \displaystyle \int \frac{2x\, dx}{x^2+2}= \int \frac{d(x^2+2)}{x^2+2}=\Big[\ \int \frac{dt}{t}=ln|\, t\, |+C\ \Big]=ln|\, x^2+2\, |+C[/tex]  

2) Площадь области вычисляется с помощью определённого интеграла .

[tex]\displaystyle \bf y=-x^2+9\ ,\ \ y=0\\\\S=\int\limits_{-3}^3\, (-x^2+9)\, dx=\Big(-\frac{x^3}{3}+9x\Big)\Big|_{-3}^3=-9+27-(9-27)=36[/tex]