Упростите выражение
(a₀-a₂)(a₀-a₃)...(a₀-aₓ) / (a₁-a₂)(a₁-a₃)... (a₁-aₓ) + (a₀-a₁)(a₀-a₃)...(a₀-aₓ) / (a₂-a₁)(a₂-a₃)...(a₂-aₓ) +...+ (a₀-a₁)(a₀-a₂)...(a₀-a₍ₓ₋₁₎) / (aₓ-a₁)(aₓ-a₂)...(aₓ-a₍ₓ₋₁)) - 1 =
(a₀-a₂)(a₀-a₃)...(a₀-aₓ) / (a₁-a₂)(a₁-a₃)... (a₁-aₓ) + (a₀-a₁)(a₀-a₃)...(a₀-aₓ) / (a₂-a₁)(a₂-a₃)...(a₂-aₓ) +...+ (a₀-a₁)(a₀-a₂)...(a₀-a₍ₓ₋₁₎) / (aₓ-a₁)(aₓ-a₂)...(aₓ-a₍ₓ₋₁)) - 1 =
Answers & Comments
Verified answer
Посмотрим на это выражение как на многочлен от переменной а₀, т.е. его можно записать как f(a₀), где f - многочлен степени х-1, т.к. в числителе каждого слагаемого x-1 множителей содержащих а₀, а в знаменателях а₀ отсутствует. Тогда f(a₁)=0, т.к. первое слагаемое будет равно (a₁-a₂)(a₁-a₃)...(a₁-aₓ) / (a₁-a₂)(a₁-a₃)... (a₁-aₓ)=1, а все остальные дроби равны 0, т.к. у них в числителях будет присутствовать а₁-а₁=0 и в конце еще из всего этого вычитаем 1. Аналогично, f(a₂)=0 (второе слагаемое равно 1, остальные дроби равны 0 и в конце -1), f(a₃)=0, ..., f(аₓ)=0, т.е. многочлен f имеет х различных корней (различны они, т.к. знаменатели не равны 0). Значит многочлен f тождественно равен 0, т.к. иначе у него могло быть не более x-1 корней, ведь его степень равна x-1. Итак, ответ: 0.P.S. Если убрать последнюю -1, то останется конструкция, которая в математике называется интерполяционный многочлен Лагранжа, т.е. многочлен, график которого проходит через заданные точки плоскости. Тут это многочлен от а₀ степени х-1, проходящий через х точек (a₁,1),...,(аₓ,1). Такой многочлен тождественно равен 1, т.е. вся эта сложная сумма дробей - это запись константы 1 в виде многочлена степени x-1 от переменной a₀. Ну и в конце вычитаем 1 и получаем 0.