Применение дробно-линейного программирования для определения себестоимости изделий

Рассмотрим использование дробно-линейного программи­рования для нахождении себестоимости изделий.

Пример 6. Для производства двух видов изделий А и В пред­приятие использует три типа технологического оборудования. Каждое из изделий должно пройти обработку на каждом из типов оборудования. Время обработки каждого из изделий, затраты, связанные с производством одного изделия, даны в табл. 28.1

Оборудование I и III типов предприятие может использо­вать не более 26 и 39 ч соответственно, оборудование II типа целесообразно использовать не менее 4 ч.

Определить, сколько изделий каждого вида следует изго­товить предприятию, чтобы средняя себестоимость одного из­делия была минимальной.

Решение. Составим математическую модель задачи. Пусть x1 — количество изделий вида А, которое следует из­готовить предприятию, x2 — количество изделий вида В. Об­щие затраты на их производство составят (2х1 + 3x2) тыс. р., а средняя себестоимость одного изделия будет равна

Математическая модель задачи примет вид

при ограничениях:

ΔАВС — область допустимых решений (рис. 28.11).

Найдем x2: L = (2x1 + 3x2) / (x1 + x2), 2x1 + 3х2 = Lx1 + Lx2, x2 (3 - L) = x1 (L - 2),

Угловой коэффициент прямой равен k = (L - 2)/(3 — l), тогда

Так как dk/dL > 0, то функция k = (L - 2)/(3 - L) возрастает. Это соответствует вращению прямой против часовой стрелки. Следовательно, в точке С (рис. 28.11) целевая функция будет иметь наименьшее значение (глобальный минимум).

Найдем координаты точки С. Решая систему

получим С (3, 1), опт = (3, 1), L = 9/4.

Следовательно, предприятию следует выпускать 3 изделия вида А и 1 изделие вида В. При этом средняя себестоимость одного изделия будет минимальной и равной 2,25 тыс. р.

Сведение экономико-математической модели дробно-линейного программирования к задаче линейного программирования

Задачу дробно-линейного программирования можно свести к задаче линейного программирования и решить симплексным методом.

Обозначим

при условии

и введем новые переменные уj = y0xj.

Тогда задача примет вид

при ограничениях:

После нахождения оптимального решения полученной зада­чи, используя вышеуказанные соотношения, найдем оптималь­ное решение исходной задачи дробно-линейного программиро­вания.

Пример 7. Дана задача дробно-линейного программирования

при ограничениях:

Решение. Обозначим: x1 + 2x2 + 1 = 1/у0, y0 > 0, тогда L = 2x1y0 - x2y0.

Обозначим: x1y0 = y1, х2у0 = у2, х3у0 = у3, х4у0 = y4.

Преобразуем систему ограничений, умножив обе части всех ограничений на у0, и перейдем к переменным у0, y1, y2, y3, y4. Задача примет вид

при ограничениях:

Получили задачу линейного программирования, решаем ее симплексным методом (табл. 28.2).

Получим

тогда

Ответ: опт = (2, 0, 0, 2), Lmax = 4/3.

28.4. Метод множителей Лагранжа Постановка задачи

Дана задача нелинейного программирования

при ограничениях:

Предположим, что функции f(x1, х2,..., xп) и gi(x1, x2,..., xп) непрерывны вместе со своими первыми частными про­изводными.

Ограничения заданы в виде уравнений, поэтому для ре­шения задачи воспользуемся методом отыскания условного эк­стремума функции нескольких переменных.

Для решения задачи составляется функция Лагранжа

где λi — множители Лагранжа.

Затем определяются частные производные:

Приравняв к нулю частные производные, получим систему

Решая систему, получим множество точек, в которых целевая функция L может иметь экстремальные значения. Следует отметить, что условия рассмотренной системы являются необходимыми, но недостаточными. Поэтому не всякое полученное решение определяет точку экстремума целевой функции. Применение метода бывает оправданным, когда заранее предполагается существование глобального экстремума, совпадающего с единственным локальным максимумом или минимумом целевой функции.

Пример 8. Найти точку условного экстремума функции

при ограничениях:

Решение. Составим функцию Лагранжа

Найдем частные производные функции Лагранжа по пере­менным x1, x2, x3, λ1, λ2. Приравняв к нулю полученные вы­ражения, решим систему

Откуда λ1 = -x2, λ2 = - x2/2, х1 = -2, x2 = -4, x3 = 4, L = -8.

Определим характер экстремума, изменяя полученные зна­чения переменных. Измененные значения должны удовлетво­рять заданной системе ограничений. Возьмем х1 > -2, напри­мер x1 = -1, тогда из системы ограничений получим х2 = -3, x3 = 7/2, L = -15/2. Возьмем х1 < -2, например х1 = -3, тогда получим х2 = -5, x3 = 9/2, L = -15/2. Следовательно, L = -8 — минимальное значение функции.

Ответ. Точка экстремума х1 = -2, x2 = -4, x3 = 4, при этом максимальное значение функции L = -8.