а) В треугольнике ABC угол A = 30° и угол B = 60°. Так как сумма углов треугольника равна 180°, угол C равен:

C = 180° - A - B = 180° - 30° - 60° = 90°

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным треугольником, где гипотенуза соответствует стороне против угла C. Пусть сторона AB соответствует катету a, сторона BC - катету b, а сторона AC - гипотенузе c. Тогда из определения тригонометрических функций следует, что:

sin A = a/c

sin B = b/c

sin C = a/b

Из первого и второго уравнений можно выразить a и b через c:

a = c * sin A

b = c * sin B

Заменяя sin A и sin B на известные значения, получим:

a = c * sin 30° = c * 0.5

b = c * sin 60° = c * sqrt(3)/2

Таким образом, отношение сторон треугольника ABC равно:

a : b : c = 0.5 : sqrt(3)/2 : 1

б) Пусть отношение сторон треугольника ABC равно x : y : z. Тогда из условия задачи следует, что:

угол A / угол B / угол C = 3 / 4 / 8

Так как сумма углов треугольника равна 180°, получаем:

угол A = 3k, угол B = 4k, угол C = 8k

где k - некоторая константа.

Из суммы углов треугольника также следует, что:

3k + 4k + 8k = 180°

k = 180° / 15 = 12°

Таким образом, углы треугольника равны:

угол A = 3k = 36°

угол B = 4k = 48°

угол C = 8k = 96°

Пусть x = a/b, y = b/c, z = c/a. Тогда из определения тригонометрических функций следует, что:

sin A = a/c = (b/c) * (a/b) = yx

sin B = b/a = (a/b) * (c/a) = xz

sin C = c/b = (a/c) * (b/a) = yz

Из первого и второго уравнений можно выразить a и c через b:

a = b * sin A

c = b / sin B

Заменяя sin A и sin B на известные значения, получим:

a = b * sin 36°

c = b /