Verified answer

Ответ: а) ∠6 = 50°;    б) ∠5 = 172°, ∠7 = 8°;     в) ∠8 = 112°;                   г) ∠7 = 30°, ∠3 = 150°.

Пошаговое объяснение:

Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:

- внутренние накрест лежащие углы равны;

- сумма внутренних односторонних углов равна  180°;

- соответственные углы равны;

- внешние накрест лежащие углы равны;

- сумма внешних односторонних углов равна  180°.

ДАНО:

а || b

c - секущая

РЕШЕНИЕ:

а) ∠4 = 50°, ∠6 - ?

Углы  4 и 6 - внутренние накрест лежащие углы, они равны. Значит ∠6 = ∠4 = 50°

∠6 = 50°

б) ∠1 = 172°, ∠5 - ?, ∠7 - ?

Углы 1 и 5 - соответственные углы, они равны. То есть ∠5 = 172°.

Углы 7 и 5 смежные. Сумма смежных углов равна 180°.

∠7 = 180° - ∠5 = 180° - 172° = 8°.

∠7 = 8°

в) ∠5 - ∠2 = 44°, ∠8 - ?

Поскольку углы 1 и 5 - соответственные углы, они равны. А углы 1 и 2 смежные, их сумма равна 180°. То ∠5 + ∠2 = 180°.

Выразим из этого равенства угол 2:

∠2 = 180° - ∠5

Подставим в данное выражение:

∠5 - (180° - ∠5) = 44°

∠5 - 180° + ∠5 = 44°

2 · ∠5 = 44° + 180°

2 · ∠5 = 224°

∠5 = 224° : 2

∠5 = 112°

Углы 5 и 8 - вертикальные, они равны. Значит ∠8 = 112°.

г) ∠3 = 5 · ∠7, ∠3 - ?, ∠7 - ?

Углы 3 и 6 - внутренние односторонние, углы 6 и 7 - вертикальные. Исходя из этого:

∠3 + ∠7 = 180°

Нам известно, что ∠3 = 5 · ∠7, подставим в выражение выше.

5 · ∠7 + ∠7 = 180°

6 · ∠7 = 180°

∠7 = 180° : 6

∠7 = 30°

Тогда ∠3 = 180° - ∠7 = 180° - 30° = 150°.

Углы, которые образованы при пересечении двух параллельных прямых секущей, обладают такими свойствами:

• соответственные углы равны;

• накрест лежащие углы равны;

• сумма односторонних углов равна 180°.

_________________    

а) ∠6 = ∠4, как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых а, b и секущей c.

Значит, ∠6 = 50°.

б) ∠5 = ∠1, как соответственные.

∠5 = 172°.

∠7 + ∠1 = 180°, так как эти углы внешние односторонние.

∠7 = 180 - 172 = 8°.

в) ∠4 = ∠2, как вертикальные.

Тогда ∠5 - ∠2 = ∠5 - ∠4 = 44°.

С другой стороны, ∠5 + ∠4 = 180°, потому что они внутренние односторонние.

Сложим почленно эти равенства:

∠5 - ∠4 + ∠5 + ∠4 = 44 + 180.

2 ⋅ ∠5 = 224  

∠5 = 224 : 2

∠5 = 112°.

∠8 = ∠5, как вертикальные.

Значит, ∠8 = 112°.

г) ∠3 + ∠6 = 180°, потому что они внутренние односторонние.

∠6 = ∠7, как вертикальные.

Поэтому ∠3 + ∠7 = 180°.

По условию,  ∠3 = 5 ⋅ ∠7. Подставим это выражение вместо ∠3 в верхнее равенство:

5 ⋅ ∠7 + ∠7 = 180.

6 ⋅ ∠7 = 180.

∠7 = 180 : 6

∠7 = 30°.

∠3 = 5 ⋅ 30 = 150°.

Ответ:

а) ∠6 = 50°.

б) ∠5 = 172°; ∠7 = 8°.

в) ∠8 = 112°.

г) ∠3 = 150°; ∠7 = 30°.