Ответ:

характеристического свойства множество всех

точек плоскости, принадлежащих первому координатному углу.

5. Выпишите все подмножества множества {1, 2, 3}.

2.2 Операции над множествами

2.2.1 Определение операций над множествами

Рассмотрим операции пересечения, объединения и разности над

множествами. При этом будем считать, что рассматриваемые множества

являются подмножествами некоторого универсального множества U .

Опpеделение 2.2.1 Пересечением множеств A и B называется

множество A ∩ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые

принадлежат множеству A и множеству B.

Согласно определению 2.2.1 A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

и графически изображается заштрихованной A B

областью, представленной на рисунке 2.

Рис. 2.

Опpеделение 2.2.2 Объединением множеств A и B называется

множество A ∪ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые

принадлежат множеству A или множеству B.

Согласно определению 2.2.2 A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}

и графически изображается заштрихованной A B

областью, представленной на рисунке 3.

Рис. 3.

Опpеделение 2.2.3 Разностью множеств A и B называется

множество A \ B, состоящее из тех и только тех элементов, которые

принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Согласно определению 2.2.3 A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}

/

и графически изображается заштрихованной A B

областью, представленной на рисунке 4.

Рис. 4.

Опpеделение 2.2.4 Дополнением множества A до универсального

множества U называется множество A, состоящее из тех и только

тех элементов, которые принадлежат множеству U и не принадлежат

множеству A.

41

Согласно определению 2.2.4 A = {x | x ∈ U ∧ x ∈ A}

/

и графически изображается заштрихованной

A U

областью, представленной на рисунке 5.

Из определений 2.2.4 и 2.2.3 следует, что A = U \ A. Рис. 5.

2.2.2 Свойства операций над множествами

Теоpема 2.2.1 (Свойства операций над множествами) Пусть A,

B, C — произвольные подмножества универсального множества

U . Тогда справедливы следующие утверждения:

1. A ∩ A = A,

— свойства идемпотентности

2. A ∪ A = A,

3. A ∩ B = B ∩ A,

— свойства коммутативности

4. A ∪ B = B ∪ A,

5. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C,

— свойства ассоциативности

6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,

7. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C),

— свойства дистрибутивности

8. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),

9. (A ∩ B) = A ∪ B,

— свойства де Моргана

10. (A ∪ B) = A ∩ B,

11. A ∩ (A ∪ B) = A,

— свойства поглощения

12. A ∪ (A ∩ B) = A,

13. A = A, — свойство двойного дополнения

14. A \ B = A ∩ B,

15. A ∩ U = A,

16. A ∪ U = U,

17. A ∩ ∅ = ∅,

42

18. A ∪ ∅ = A,

19. A ∩ A = ∅,

20. A ∪ A = U,

21. U = ∅,

22. ∅ = U.

Доказательство каждого равенства основывается на определении

равенства множеств. Заметим, что основные свойства операций над

множествами аналогичны свойствам логических операций, поэтому

доказательства равенств 1–13 осуществляются с использованием

соответствующих равносильностей из теоремы 1.1.3. Докажем,

например, равенство 8). Пусть x — произвольный элемент множества

A ∪ (B ∩ C). Тогда

x ∈ A ∪ (B ∩ C)≡(x ∈ A) ∨ (x ∈ B ∩ C)≡

(x ∈ A) ∨ (x ∈ B) ∧ (x ∈ C)≡((x ∈ A) ∨ (x ∈ B)) ∧ ((x ∈ A) ∨ (x ∈ C))≡

(x ∈ A ∪ B) ∧ (x ∈ A ∪ C)≡x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Поясним доказательство. Сначала мы воспользовались определением

объединения множеств (первая равносильность), затем — определением

пересечения множеств (вторая равносильность), потом применили

свойство дистрибутивности дизъюнкции относительно конъюнкции

(третья равносильность), далее использовали определение объединения

множеств (четвертая равносильность) и в конце — определение

пересечения множеств (пятая равносильность). Таким образом, мы

доказали, что x ∈ A ∪ (B ∩ C) ≡ x ∈ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C). Это означает, что

A ∪ (B ∩ C) ⊆ (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) и (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) ⊆ A ∪ (B ∩ C), то

есть A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

Доказательство равенства 14) более короткое:

x ∈ A \ B ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ B) ≡ x ∈ A ∩ B.

/

Равенства 15–18 доказываются с использованием соответствующих

равносильностей 20–23 из теоремы 1.1.3. Докажем, например, равенства

15 и 16.

x ∈ A ∩ U ≡ (x ∈ A) ∧ (x ∈ U ) ≡ (x ∈ A) ∧ И ≡ x ∈ A,

43

x ∈ A ∪ ∅ ≡ (x ∈ A) ∨ (x ∈ ∅) ≡ (x ∈ A) ∨ Л ≡ x ∈ A.

Объяснение: