(a + b + c) — целое. Даю 20 баллов...

July 2022 1 15 Report

Даны натуральные числа a, b, c. Докажите, что если число — (a√3 + b)/(b√3 + c) рационально, то число (a² + b² + c²)/(a + b + c) — целое. Даю 20 баллов

Answers & Comments

Guerrino

Заметим, что $\frac{a\sqrt{3}+b}{b\sqrt{3}+c} = \frac{(a\sqrt{3}+b)(b\sqrt{3}-c)}{3b^2-c^2} = \frac{(b^2-ac)\sqrt{3}+3ab-bc}{3b^2-c^2}$ . Рациональность этого числа равносильна тому, что $b^2=ac$ . Исходную дробь можно сократить, тогда получим, что $a,c$ взаимно просты, но для строгости будем считать, что $a=km,\;c=kn,\;(m,n)=1$ . Тогда $b^2=k^2mn$ , откуда в силу взаимной простоты следует, что $m=p^2,\;n=q^2$ . Имеем: $\frac{k^2m^2+k^2mn+k^2n^2}{km+k\sqrt{mn}+kn} = k\cdot\frac{p^4+p^2q^2+q^4}{p^2+pq+q^2}$ . Поскольку $k$ целое, то достаточно показать, что $\frac{p^4+p^2q^2+q^4}{p^2+pq+q^2}$ целое число. В самом деле: $\frac{p^4+p^2q^2+q^4}{p^2+pq+q^2} = \frac{(p^2-q^2)}{(p+q)(p-q)}\frac{p^4+p^2q^2+q^4}{p^2+pq+q^2} = \frac{p^6-q^6}{(p+q)(p^3-q^3)}=\frac{p^3+q^3}{p+q} = p^2- pq+q^2$ .

2 votes Thanks 2

Answers & Comments

na doske napisano chislo 2 ilya i tanya igrayut v igru za hod mozhno pribavit k ch62c185e7301b48c91bd765b4d1b85299 94996

k gruziku massoj m1100 g podveshennomu v prostranstve s pomoshyu dvuh nitej ode63d121213c3aa40b65be088f8bd6c0a 94080

k gruziku massoj m1100 g podveshennomu v prostranstve s pomoshyu dvuh nitej od

na doske napisany cherez zapyatuyu tri naturalnyh chisla yavlyayushihsya posledovateln

na risunke izobrazhen edinichnyj kvadrat najdite ploshad zashtrihovannogo treugold529eab9952e059f82d9663d79663d2b 75741

elektricheskaya cep sostoit iz batarejki s eds 5 v i vnutrennim soprotivleniem 18333b2e3105c2601ae4d897e0877b8f5 31083

na risunke izobrazhen edinichnyj kvadrat najdite ploshad zashtrihovannogo treugol

m otvet dajte v santimetrah

l pri 100c i normalnom atmocfernom davlenii 1 atm 1013 kpa otvette sro

na storone ac treugolnika abc otmechena tochka m tochki p i q simmetrichny tochke m

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social