Для определения условий, при которых уравнение \(x^2 - (a - 2)x - 2 - 3a = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\) такие, что \(x_1 < 0\), \(x_2 > 0\) и \(|x_1| > x_2\), мы можем воспользоваться свойствами дискриминанта и коэффициентов квадратного уравнения.
Уравнение квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\) имеет дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), и корни выражаются формулами:
1. \(x_1 < 0\): Это возможно, если \(D > 0\) (так как иначе корни будут мнимыми) и \(x_1 < x_2\).
2. \(x_2 > 0\): Это возможно, если также \(D > 0\) и \(x_2 > 0\).
3. \(|x_1| > x_2\): Это возможно, если \(x_1 < 0\) и \(|x_1| > x_2\).
Таким образом, для указанных условий должно выполняться \(D > 0\) и \(x_2 > 0\). Рассмотрим \(D = (a - 1)^2 + 12a\):
\[(a - 1)^2 + 12a > 0\]
Это неравенство выполняется для всех действительных значений \(a\). Таким образом, уравнение \(x^2 - (a - 2)x - 2 - 3a = 0\) при любых значениях \(a\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\) такие, что \(x_1 < 0\), \(x_2 > 0\) и \(|x_1| > x_2\).
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
Для определения условий, при которых уравнение \(x^2 - (a - 2)x - 2 - 3a = 0\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\) такие, что \(x_1 < 0\), \(x_2 > 0\) и \(|x_1| > x_2\), мы можем воспользоваться свойствами дискриминанта и коэффициентов квадратного уравнения.
Уравнение квадратного трёхчлена \(ax^2 + bx + c\) имеет дискриминант \(D = b^2 - 4ac\), и корни выражаются формулами:
\[x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\]
В данном случае у нас \(a = 1\), \(b = -(a - 2) = 3 - a\) и \(c = -2 - 3a\). Тогда дискриминант:
\[D = (3 - a)^2 - 4(1)(-2 - 3a) = (a - 1)^2 + 12a\]
1. \(x_1 < 0\): Это возможно, если \(D > 0\) (так как иначе корни будут мнимыми) и \(x_1 < x_2\).
2. \(x_2 > 0\): Это возможно, если также \(D > 0\) и \(x_2 > 0\).
3. \(|x_1| > x_2\): Это возможно, если \(x_1 < 0\) и \(|x_1| > x_2\).
Таким образом, для указанных условий должно выполняться \(D > 0\) и \(x_2 > 0\). Рассмотрим \(D = (a - 1)^2 + 12a\):
\[(a - 1)^2 + 12a > 0\]
Это неравенство выполняется для всех действительных значений \(a\). Таким образом, уравнение \(x^2 - (a - 2)x - 2 - 3a = 0\) при любых значениях \(a\) имеет корни \(x_1\) и \(x_2\) такие, что \(x_1 < 0\), \(x_2 > 0\) и \(|x_1| > x_2\).