Verified answer

Задано четыре точки А(1;-2;3), В(1;10;8), С(1;4;0), D(2;-2;2).

Найти:

1) довжину AB

2) кут між AB та BC

3) площу трикутника АВС

4) обьем пирамиды

5) довжину висоты DH пирамиды проведёную до плоскости АВС.

1) Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

a = √(X² + Y² + Z²).

Находим координаты вектора АВ по точкам А(1;-2;3), В(1;10;8).

АВ = (1-1; 10-(-2); 8-3) = (0; 12; 5).

Длина АВ = √(02 + 122 + 52)  = √(0 + 144 + 25) = √169 = 13.

2) Угол между сторонами треугольника АВ и ВС это угол В.

Вектор ВА имеет обратные знаки по сравнению с вектором АВ.

ВА = (0; -12; -5).

Находим координаты вектора ВС по точкам В(1;10;8) С(1;4;0).

ВС = (1-1; 4-10; 0-8) = (0; -6; -8).

Длина ВС = √(02 + (-6)2 + (-8)2)  = √(0 + 36 + 64) = √100 = 10.

cos(ВА_BC) = (0*0+(-12)*(-6)+(-5)*(-8))/(13*10) = (0+72+40)/130 = 112/130 = 56/65.

<(ВА_BC) = arccos(56/65) = 30,51024 градуса.

3) Площадь треугольника АВС находим как половину модуля векторного произведения векторов ВА и ВС

I         j         k|         I          j

0     -12      -5|         0       -12

0      -6       -8|        0        -6   =   96i +0j + 0k – 0j – 30i – 0k = 66i.  

BA*BC = (66; 0; 0).

S(ABC) = (1/2)*√(662 + 02 + 02) = 66/2 = 33 кв. ед.

4) Объем пирамиды находим как (1/6) модуля смешанного произведения векторов AB, AC, AD.

Находим векторы АС и AD: А(1;-2;3), С(1;4;0), D(2;-2;2).

АС = (1-1; 4-(-2); 0-3) = (0; 6; -3).

AD = (2-1; -2-2; 2-3) = (1; -4; -1).

(ABxAC)*AD: =

0     12     5|      0      12

0      6     -3|      0        6

1     -4     -1|      1       -4  = 0 – 36 + 0 – 0 – 0 – 30 = - 66.

V = (1/6)*66 = 11 куб. ед.

5) Довжину висоты DH пирамиды проведёную до плоскости АВС.

DH = 3V/S(ABC) = 3*11/33 = 1.