Основные формулы для арифметической прогрессии:

[tex]a_n=a_1+d(n-1)[/tex]

[tex]S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n[/tex]

Рассмотрим первое условие:

[tex]a_3-a_1=8[/tex]

[tex](a_1+2d)-a_1=8[/tex]

[tex]2d=8[/tex]

[tex]\Rightarrow \boxed{d=4}[/tex]

Рассмотрим второе условие:

[tex]a_2+a_4=14[/tex]

[tex](a_1+d)+(a_1+3d)=14[/tex]

[tex]2a_1+4d=14[/tex]

[tex]a_1+2d=7[/tex]

[tex]a_1+2\cdot 4=7[/tex]

[tex]a_1+8=7[/tex]

[tex]\Rightarrow \boxed{a_1=-1}[/tex]

Рассмотрим третье условие:

[tex]S_n=104[/tex]

[tex]\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n=104[/tex]

[tex]\dfrac{2\cdot(-1)+4(n-1)}{2} \cdot n=104[/tex]

[tex]\dfrac{-2+4n-4}{2} \cdot n=104[/tex]

[tex]\dfrac{4n-6}{2} \cdot n=104[/tex]

[tex](2n-3) \cdot n=104[/tex]

[tex]2n^2-3n-104=0[/tex]

[tex]D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-104)=9+832=841[/tex]

[tex]n=\dfrac{3+\sqrt{841} }{2\cdot2} =\boxed{8}[/tex]

[tex]n\neq \dfrac{3-\sqrt{841} }{2\cdot2} =-6.5\notin\mathbb{N}[/tex]

Ответ: 8