Ответ:

Векторы [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \ -[/tex] компланарны

Примечание:

Теорема о разложении или теорема Лапласа:

Значение определителя матрицы равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Минором элемента [tex]a_{ij}[/tex] определителя порядка [tex]n[/tex] называется определитель порядка [tex](n - 1)[/tex], полученного из данного вычеркиванием

[tex]i[/tex]-й строки и [tex]j[/tex]-го столбца и обозначается в виде [tex]M_{ij}[/tex].

Алгебраическим дополнением элемента [tex]a_{ij}[/tex] называют число:

[tex]A_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{ij}[/tex]

Смешанное произведение векторов [tex]\overrightarrow{a}(a_{x};a_{y};a_{z}),\overrightarrow{b}(b_{x};b_{y};b_{z}),\overrightarrow{c}(c_{x};c_{y};c_{z}):[/tex]

[tex]\overrightarrow{a} \cdot [\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} ] = \begin{vmatrix} a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \\ c_{x} & c_{y} & c_{z} \end{vmatrix}[/tex]

Определитель матрицы не меняется при элементарном преобразовании матрицы.

[tex]r_{n}[/tex] - строка с номером n

[tex]c_{n}[/tex] - столбец с номером n

Пошаговое объяснение:

Векторы:

[tex]\overrightarrow{a}(3;0;3)[/tex]

[tex]\overrightarrow{b}(8;1;6)[/tex]

[tex]\overrightarrow{c}(1;1;-1)[/tex]

По теореме векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю.

Смешанное произведение векторов:

[tex]\overrightarrow{a} \cdot [\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} ] = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 8 & 1 & 6 \\ 1 & 1 & -1 \end{vmatrix}c_{1} - c_{3} =\begin{vmatrix} 3 - 3 & 0 & 3 \\ 8 - 6 & 1 & 6 \\ 1- (-1) & 1 & -1 \end{vmatrix} =\begin{vmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{vmatrix} =[/tex]

[tex]=a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} =0 \cdot A_{11} + 0\cdot A_{12} + 3 A_{13} =3 A_{13}=[/tex]

[tex]=3 \cdot (-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} =3 \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}= 3(2 \cdot - 2\cdot 1) = 3(2 - 2) = 3 \cdot 0 =0[/tex]

Так как [tex]\boldsymbol{\boxed{\overrightarrow{a} \cdot [\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c} ] =0}}[/tex], то векторы [tex]\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}, \overrightarrow{c} \ -[/tex] компланарны.