Ответ:

[tex]cos(30^{ \circ} - \alpha ) + cos(30^{ \circ} + \alpha ) = \\ = 2cos \frac{30^{ \circ} - \alpha +30^{ \circ} + \alpha }{2} cos \frac{30^{ \circ} - \alpha - 30^{ \circ} - \alpha }{2} = \\ = 2cos30^{ \circ} cos( - \alpha ) = 2 \times \frac{ \sqrt{3} }{2} cos \alpha = \sqrt{ 3} cos \alpha [/tex]

здесь используется формула

[tex]cos \alpha + cos \beta = 2 cos \frac{ \alpha + \beta }{2} cos \frac{ \alpha - \beta }{2} \\ [/tex]

...

[tex](1 - {cos}^{2} \alpha )(1 + ctg^{2} \alpha ) = {sin}^{2} \alpha \times \frac{1}{ {sin}^{2} \alpha } = 1 \\ [/tex]

здесь используются формулы:

[tex]1 - {cos}^{2} \alpha = sin^{2} \alpha \\ 1 + ctg^{2} \alpha = \frac{1}{sin^{2} \alpha } [/tex]

...

[tex] {sin}^{4} \alpha + cos^{4} \alpha + 2 {sin}^{2} \alpha {cos}^{2} \alpha = \\ = ( {sin}^{2} \alpha + {cos}^{2} \alpha {)}^{2} = {1}^{2} = 1[/tex]

для упрошения этого выражения используется формула

[tex] {a}^{2} + 2ab + {b}^{2} = ( {a + b})^{2} [/tex]

...

[tex] \frac{tg51^{ \circ} + tg9^{ \circ} }{1 - tg51^{ \circ} tg9^{ \circ} } = tg(51^{ \circ} + 9^{ \circ} ) = tg60^{ \circ} = \sqrt{3} \\ [/tex]

здесь используется формула

[tex] \frac{tg \alpha + tg \beta }{1 - tg \alpha tg \beta } = tg( \alpha + \beta ) \\ [/tex]

...

[tex](cos75^{ \circ} - sin75^{ \circ} {)}^{2} = cos^{2}75 ^{ \circ} - 2sin75^{ \circ} cos75^{ \circ} + {sin}^{2} 75^{ \circ} = \\ = 1 - sin(2 \times 75^{ \circ} ) = 1 - sin150^{ \circ} = \\ = 1 - sin(180 ^{ \circ} - 30^{ \circ} ) = 1 - sin30^{ \circ} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} [/tex]

здесь используются формулы

[tex](a - b {)}^{2} = {a}^{2} - 2ab + {b}^{2} \\ {sin}^{2} \alpha + {cos}^{2} \alpha = 1 \\ 2sin \alpha cos \alpha = sin2 \alpha \\ sin(\pi - \alpha ) = sin \alpha [/tex]