Verified answer

[tex]\dfrac{1}{\log_{0{,}5}\sqrt{x+3}} \le\dfrac{1}{\log_{0{,}5}(x+1)}[/tex]

[tex]\dfrac{1}{-\log_2\sqrt{x+3}}\le \dfrac{1}{-\log_2(x+1)}\\\\\dfrac{1}{\log_2 \sqrt{x+3}}\ge \dfrac{1}{\log_2(x+1)}\\[/tex]

Пусть [tex]x \in (-1;0)[/tex]. Тогда левый логарифм положителен, а правый отрицателен. Если мы домножим обе части неравенства на произведение логарифмов, неравенство сменит знак:

[tex]\log_2(x+1) \le \log_2\sqrt{x+3}[/tex]

Логарифм с основанием, большим единицы, — монотонно возрастающая функция, поэтому:

[tex]\begin{cases}-1 < x < 0\\x+1 \le \sqrt{x+3}\end{cases}\\x^2+2x+1\le x+3\\x^2+x-2\le0\\x_1=1 \qquad x_2=-2\\(x+2)(x-1)\le 0[/tex]

Методом интервалов получим, что [tex]x \in [-2;1][/tex]. Объединяя с первым условием, получим: [tex]x \in (-1;0)[/tex].

Пусть теперь [tex]x > 0[/tex]. Тогда, когда мы умножим обе части неравенства на произведение логарифмов, неравенство сохранит знак:

[tex]\log_2(x+1) \ge \log_2 \sqrt{x+3}[/tex]

Проделываем всё то же самое:

[tex]\begin{cases}x > 0\\ x+1 \ge \sqrt{x+3}\end{cases}\\x^2+2x+1 \ge x+3\\x^2+x-2\ge 0\\(x+2)(x-1) \ge 0\\x \in (-\infty; -2] \cup[1;+\infty)[/tex]

Подходит только правый интервал:

[tex]x \in [1;+\infty)[/tex]

Ответ: [tex]x \in (-1;0)\cup[1;+\infty)[/tex]

На скриншоте проверка на компьютере.

Если что-нибудь непонятно — спрашивай.