Verified answer

Ответ:

[tex]\displaystyle \int\limits^{\frac{\pi }{2} }_0 {\frac{sinx\;dx}{(1+2cosx)^4} } \, dx=\frac{13}{81}[/tex]

Пошаговое объяснение:

Вычислить интеграл:

[tex]\displaystyle \bf \int\limits^{\frac{\pi }{2} }_0 {\frac{sinx\;dx}{(1+2cosx)^4} } \, dx[/tex]

Замена переменной:

[tex]\displaystyle 1+2cosx=t\\\\-2sinx\;dx=dt\\\\sinx\;dx=-\frac{1}{2}dt[/tex]

Изменим пределы интегрирования:

[tex]\displaystyle x=0\;\;\;\Rightarrow \;\;\;1+2cos\;0^0=3\\\\x=\frac{\pi }{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\; 1+cos\frac{\pi }{2}=1[/tex]

Получим интеграл:

[tex]\displaystyle -\frac{1}{2}\int\limits^1_3 {\frac{dt}{t^4} } = \frac{1}{2}\int\limits^3_1 {t^{-4}dt} =\frac{1}{2}\left(\frac{t^{-4+1}}{-4+1}\right)\bigg|^3_1=-\frac{1}{6t^3}\bigg|^3_1=\\ \\ \\ =-\frac{1}{6\cdot3^3}+\frac{1}{6\cdot1^3}= \frac{-1+27}{162}=\frac{26}{162}=\frac{13}{81}[/tex]