Ответ:

[tex]\displaystyle y'= \frac{{arcsin^4x}}{(x+1)\;ln4} +{\frac{4\;log_4(x+1)\cdot{arcsin^3x}}{\sqrt{1-x^2} }[/tex]

Пошаговое объяснение:

Требуется найти производную.

у = log₄(x + 1) · arcsin⁴x

Производная произведения:

[tex]\displaystyle \boxed {(uv)'=u'v+uv'}[/tex]

[tex]\displaystyle y'=(log_4(x+1))'\cdot{arcsin^4x+log_4(x+1)\cdot{(arcsin^4x)'=[/tex]

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Производная сложной функции:

[tex]\displaystyle \boxed {(log_au)'=\frac{u'}{u\;ln\;a};\;\;\;\;\;(u^n)'=nu^{n-1}u' }[/tex]

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[tex]\displaystyle =\frac{(x+1)'}{(x+1)ln4} \cdot{arcsin^4x}+log_4(x+1)\cdot4arcsin^3x\cdot(arcsin\;x)'=[/tex]

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[tex]\displaystyle \boxed {x' =1;\;\;\;\;c'=0;\;\;\;\;\;(arcsin\;x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2} } .}[/tex]

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[tex]\displaystyle = \frac{1\cdot{arcsin^4x}}{(x+1)\;ln4} +4\;log_4(x+1)\cdot{arcsin^3x}\cdot{\frac{1}{\sqrt{1-x^2} } }=\\\\= \frac{{arcsin^4x}}{(x+1)\;ln4} +{\frac{4\;log_4(x+1)\cdot{arcsin^3x}}{\sqrt{1-x^2} }[/tex]