Verified answer

1)

[tex]2 {x}^{4} + 3 {x}^{2} - 5 = 0[/tex]

Введём новую переменную. Пусть [tex]y = {x}^{2} [/tex];

Условие: число в квадрате не должно быть отрицательным числом

[tex]y \geqslant0[/tex];

Тогда

[tex]2 {y}^{2} + 3y - 5 = 0[/tex]

[tex]D = {b}^{2} - 4ac = {3}^{2} - 4 \times 2 \times ( - 5) = 9 + 40 = 49 = {7}^{2} [/tex]

[tex]y_{1} = \frac{ - b + \sqrt{D} }{2a} = \frac{ - 3 + 7}{2 \times 2} = \frac{4}{4} = 1[/tex] — удовлетворяет условию,

[tex]y_{2} = \frac{ - b - \sqrt{D} }{2a} = \frac{ - 3 - 7}{2 \times 2} = \frac{ - 10}{4} = - \frac{5}{2} [/tex] — не удовлетворяет условию;

Подставляем обратно:

[tex]1 = {x}^{2} [/tex]

[tex] {x}^{2} = 1[/tex]

[tex] x_{1} = 1[/tex],

[tex]x_{2} = - 1[/tex]

Ответ: [tex]- 1[/tex], [tex] 1[/tex]

2)

[tex] \frac{ {x}^{2} }{x - 6} = \frac{36}{x - 6} [/tex]

Условие: делить на ноль нельзя, поэтому знаменатель не можешь быть равен нулю

[tex]x - 6≠ 0[/tex]

[tex]x≠6[/tex];

Итак,

[tex] {x}^{2} (x - 6) = 36(x - 6)[/tex]

[tex] {x}^{2} = 36[/tex]

[tex]x_{1} = 6[/tex] — не удовлетворяет условию,

[tex]x_{2} = - 6[/tex] — удовлетворяет условию

Ответ: [tex] - 6[/tex]

3)

[tex] \frac{x - 3}{x} = \frac{8}{x + 3} [/tex]

Условие: знаменатель не должен быть равен нулю

[tex]x≠0[/tex],

[tex]x + 3≠0[/tex]

[tex]x≠ - 3[/tex];

Итак,

[tex](x - 3)(x + 3) = 8x[/tex]

[tex] {x}^{2} - {3}^{2} = 8x[/tex]

[tex] {x}^{2} - 8x - 9 = 0[/tex]

[tex]D = {b}^{2} - 4ac = {( - 8)}^{2} - 4 \times 1 \times ( - 9) = 64 + 36 = 100 = {10}^{2} [/tex]

[tex]x_{1} = \frac{ - b + \sqrt{D} }{2a} = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9[/tex] — удовлетворяет условию,

[tex]x_{2} = \frac{ - b - \sqrt{D} }{2a} = \frac{8 - 10}{2} = \frac{ - 2}{2} = - 1[/tex] — удовлетворяет условию.

Ответ: [tex] - 1[/tex], [tex]9[/tex]

4)

[tex] {( {x}^{2} + 2)}^{2} - 2( {x}^{2} + 2) - 3 = 0[/tex]

Введём новую переменную. Пусть

[tex]y = {x}^{2} + 2[/tex];

Условие: число в квадрате не должно быть отрицательным числом

[tex]y - 2 = {x}^{2} [/tex]

[tex]y - 2 \geqslant 0[/tex]

[tex]y \geqslant 2[/tex];

Тогда

[tex] {y}^{2} - 2y - 3 = 0[/tex]

[tex]D = {b}^{2} - 4ac = {( - 2)}^{2} - 4 \times 1 \times ( - 3) = 4 + 12 = 16 = {4}^{2} [/tex]

[tex]y_{1} = \frac{ - b + \sqrt{D} }{2a} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3[/tex] — удовлетворяет условию,

[tex]y_{2} = \frac{ - b - \sqrt{D} }{2a} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{ - 2}{2} = - 1[/tex] — не удовлетворяет условию.

Подставляем обратно:

[tex]y - 2 = {x}^{2} [/tex]

[tex]3 - 2 = {x}^{2} [/tex]

[tex] {x}^{2} = 1[/tex]

[tex]x_{1} = 1[/tex],

[tex]x_{2} = - 1[/tex]

Ответ: [tex] - 1[/tex], [tex]1[/tex]