Ответ:

Применяем формулы понижения степени:

  [tex]\bf sin^2x=\dfrac{1-cos2x}{2}\ \ ,\ \ \ cos^2x= \dfrac{1+cos2x}{2}[/tex]    

и формулу  [tex]\bf cos^2x=1-sin^2a[/tex]  (следствие из тригонометрической единицы) .

[tex]\displaystyle \bf \int\Big(sin^63x-cos^63x)\, dx=\int \Big(\Big(\dfrac{1-cos6x}{2}\Big)^3-\Big(\dfrac{1+cos6x}{2}\Big)^3\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{8}\int \Big((1-3cos6x+3cos^26x-cos^36x)-(1+3cos6x+3cos^26x+cos^36x)\Big)\, dx=\\\\\\=\frac{1}{8}\int \Big(-6cos6x-2cos^36x\Big)\, dx=-\frac{6}{8}\int cos6x\, dx-\frac{2}{8}\int cos^36x\, dx=[/tex]

[tex]\displaystyle \bf =-\frac{3}{4\cdot 6}\int cos6x\cdot \underbrace{\bf 6\, dx}_{d(6x)}-\frac{1}{4}\int cos^26x\cdot \underbrace{\bf cos6x\, dx}_{\frac{1}{6}\cdot d(sin6x)}=\\\\\\=-\frac{1}{8}\cdot sin6x-\frac{1}{4\cdot 6}\int (1-sin^26x)\cdot d(sin6x)=\\\\\\=-\frac{1}{8}\cdot sin6x-\frac{1}{24}\cdot \int d(sin6x)+\frac{1}{24}\int sin^26x\cdot d(sin6x)=\\\\\\=-\frac{1}{8}\cdot sin6x-\frac{1}{24}\cdot sin6x+\frac{1}{24}\cdot \frac{sin^36x}{3}+C=-\frac{1}{6}\cdot sin6x+\frac{1}{72}\cdot sin^36x+C[/tex]

Теперь вычислим определённый интеграл, применяя формулу Ньютона-Лейбница .

 [tex]\bf \displaystyle \int\limits_{\frac{\pi }{36}}^{\frac{\pi}{3}}\, \Big(sin^63x-cos^63x\Big)\, dx=\Big(-\frac{1}{6}\cdot sin6x+\frac{1}{72}\cdot sin^36x\Big)\Big|_{\frac{\pi }{36}}^{\frac{\pi}{3}}=\\\\\\=--\frac{1}{6}\cdot sin2\pi +\frac{1}{72}\cdot sin^32\pi -\Big(-\frac{1}{6}\cdot sin\frac{\pi }{6}+\frac{1}{72}\cdot sin^3\frac{\pi }{6}\, \Big)=[/tex]

[tex]\bf \displaystyle =0+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{72}\cdot \frac{1}{8}=\frac{47}{576}[/tex]