Ответ:

Доказано, что AB · CF = BE · BC.

Пошаговое объяснение:

AB и BC - диаметры. AB перпендикулярен BC.

Доказать: AB * CF = BC * BE.

Дано. Окр.О₁ и Окр.О₂;

AB и BC - диаметры;

AB ⊥ BC;

Доказать: AB * CF = BC * BE.

Доказательство:

Соединим С и F; D и A.

1. Рассмотрим ΔСBF.

∠CFB = 90° (вписанный, опирается на диаметр СВ)

⇒ ΔСBF - прямоугольный.

2. Рассмотрим ΔЕBА.

∠ВЕА = 90° (вписанный, опирается на диаметр АВ)

⇒ ΔЕВА - прямоугольный.

3. Рассмотрим Окр.О₂

СВ ⊥ ВА (условие).

• Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.

⇒ CD - касательная к Окр.О₂.

ВЕ - хорда.

• Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине градусной меры дуги, стягиваемой этой хордой.

⇒ ∠СВЕ = 0,5 ◡ВЕ

• Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

⇒ ∠ВАЕ = 0,5 ◡ВЕ.

4. Рассмотрим ΔCBF и ΔВАЕ - прямоугольные.

∠СВЕ = ∠ВАЕ = 0,5 ◡ВЕ (п.3)

⇒ ΔCBF ~ ΔВАЕ (по двум углам)

Напишем отношения сходственных сторон:

[tex]\displaystyle\bf \frac{CB}{AB}=\frac{CF}{BE}[/tex]

• Основное свойство пропорции: произведение средних членов равно произведению крайних членов пропорции.

⇒ AB · CF = BE · BC.

Доказано, что AB · CF = BE · BC.