На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K так, что AM : BM = 1 : 2, BK : CK = 3 : 5. Отрезки AK и CM пересекаются в точке О. Найдите AO : KO.
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K так, что AM : BM = 1 : 2, BK : CK = 3 : 5. Отрезки AK и CM пересекаются в точке О. Найдите AO : KO.
Дано: ΔАВС;
М ∈ АВ; К ∈ ВС;
AM : BM = 1 : 2, BK : CK = 3 : 5;
АК ∩ СМ = О
Найти: AO : KO.
Решение:
Дополнительное построение:
Проведем ЕК || MC; MH || AK.
Теорема о пропорциональных отрезках:
Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне.
Answers & Comments
Ответ:
Отношение AO : KO = 4 : 5.
Объяснение:
На сторонах AB и BC треугольника ABC взяли точки M и K так, что AM : BM = 1 : 2, BK : CK = 3 : 5. Отрезки AK и CM пересекаются в точке О. Найдите AO : KO.
Дано: ΔАВС;
М ∈ АВ; К ∈ ВС;
AM : BM = 1 : 2, BK : CK = 3 : 5;
АК ∩ СМ = О
Найти: AO : KO.
Решение:
Дополнительное построение:
Проведем ЕК || MC; MH || AK.
1. BK : CK = 3 : 5; ЕК || MC ⇒
[tex]\displaystyle \frac{BK}{CK}=\frac{BE}{ME} =\frac{3}{5}[/tex]
Пусть ВЕ = 3х, МЕ = 5х, тогда ВМ = 8х
2. AM : BM = 1 : 2 или
[tex]\displaystyle \frac{AM}{BM}=\frac{1}{2}\\\\ \frac{AM}{8x}=\frac{1}{2}\;\;\;\Rightarrow \;\;\;AM=4x[/tex]
3. MO || EK; АМ = 4х, МЕ = 5х.
[tex]\displaystyle \frac{AO}{OK}=\frac{AM}{ME} =\frac{4x}{5x}=\frac{4}{5}[/tex]
Отношение AO : KO = 4 : 5.