Пусть точка пересечения боковых сторон AB и CD обозначена как M, а точки пересечения AM и BC, DM и BC обозначены как P и Q соответственно.

Так как треугольник AMD и треугольник ABC подобны (по двум углам), то отношение их площадей равно квадрату отношения соответствующих сторон:

S(AMD)/S(ABC) = (AM/AB)^2 = (DM/DC)^2

Заметим, что треугольники AMP и QDM также подобны треугольнику ABC. Значит:

AM/AB = PM/BC и DM/DC = QM/BC

Так как BC:AD=3:4, то BC/AD=3/4. Заметим, что в треугольниках ABC и APB соответственные стороны имеют отношение 3:4. Значит, треугольники ABC и APB подобны с коэффициентом 3:4. Аналогично, треугольники DBC и BQD подобны с коэффициентом 3:4.

Таким образом, AM/AB = 3/7 и DM/DC = 3/7.

Обозначим через h высоту трапеции ABCD. Тогда её основания имеют длины AB = 7h/5 и CD = 21h/5.

Площадь треугольника ADC равна (AD*DC*h)/2, а площадь треугольника ABC равна (AB*BC*h)/2. Следовательно,

S(ABC) + S(ADC) = (AB*BC + AD*DC)*h/2 = 14 см^2

или

(7h/5)*(BC*h)/2 + (4h/5)*(DC*h)/2 = 14 см^2

3/5*BC*DC*h^2 = 14 см^2

BC*DC*h/2 = 28/3 см^2

Так как DM/DC = 3/7, то DM = 3h/5 и DC = 7h/5. Поэтому, h = 5*sqrt(14)/7 см, BC = 3*sqrt(14) см, DC = 7*sqrt(14)/3 см, DM = 3*sqrt(14)/5 см, AM = 4*sqrt(14)/5 см, PM = 1*sqrt(14)/5 см, QM = 2*sqrt(14)/3 см.

Наконец, S(AMD) = (DM*AM)/2 = 4 см^2. Ответ: 4 см^2.