С решением, пожалуйста. Окружность касается боковых сторон AB и CD и основания BC трапеции ABCD, а также пересекает основание AD в точках K и N, таких, что AK=9, KN=16, ND=2. Основание BC равно 15. Найдите: 1) боковые стороны трапеции; 2) площадь трапеции; 3) радиус данной окружности
Answers & Comments
Ответ:
1) AB = 20 ед.; CD = 16 ед.;
2) S(ABCD) = 336 ед.²
3) R = 10 ед.
Объяснение:
Окружность касается боковых сторон AB и CD и основания BC трапеции ABCD, а также пересекает основание AD в точках K и N, таких, что AK=9, KN=16, ND=2. Основание BC равно 15. Найдите: 1) боковые стороны трапеции; 2) площадь трапеции; 3) радиус данной окружности.
Дано: ABCD - трапеция;
Окр.(О,R) касается АВ, ВС, AD;
Окр.(О,R) ∩ AD = {K; N};
AK = 9, KN = 16, ND = 2; BC = 15.
Найти: 1) АВ и CD; 2) S(ABCD); 3) R.
Решение:
1) Найдем боковые стороны трапеции.
⇒ АР² = АN · AK = (9 + 16) · 9 = 225 ⇒ AP = 15;
DH² = DK · DN = (2 + 16) · 2 = 36 ⇒ DH = 6.
⇒ ОЕ ⊥ ВС
Дополнительное построение:
Продлим ОЕ до пересечения с AD и поставим точку М, проведем высоты BT и CF.
⇒ ЕМ ⊥ AD.
⇒ КМ = МN = 16 : 2 = 8
Пусть ВЕ = х, тогда ЕС = 15 - х.
⇒ ВЕ = ВР = х; ЕС = СН = 15 - х.
ТВЕМ и МЕСF - прямоугольники.
⇒ ВЕ = ТМ = х; ЕС = MF = 15 - x
Пусть ВТ = ЕМ = СF = h.
Рассмотрим ΔАВТ - прямоугольный.
АВ = АР + РВ = 15 + х
АТ = АМ - ТМ = (9 + 8) - x = 17 - x
По теореме Пифагора:
h² = AB² - AT² = (15 + x)² - (17 - x)² = 225 + 30x + x² - 289 + 34x -x²
h² = 64x - 64 (1)
Рассмотрим ΔFCD - прямоугольный.
CD = DH + HC = 6 + (15 - х) = 21 - x
FD = МD - МF = (8 + 2) - (15 - x) = x - 5
По теореме Пифагора:
h² = CD² - FD² = (21 - x)² - (x - 5)² = 441 - 42x + x² - x² + 10x -25
h² = 416 - 32x (2)
Приравняем (1) и (2) и решим уравнение:
64x - 64 = 416 - 32x
96x = 480 |:96
x = 5
⇒ AB = 15 + x = 20 (ед.)
CD = 21 - x = 16 (ед.)
2) Найдем площадь трапеции.
h² = 64x - 64 = 320 - 64 = 256 ⇒ h = 16
S(ABCD) = (BC + AD) · h/2 = (15 + (9 + 16 + 2)) · 16 / 2 = 336 (ед.²)
3) Найдем радиус окружности.
Рассмотрим ΔКОМ - прямоугольный.
ОК = R; KM = 8
По теореме Пифагора:
ОМ² = R² - 64 ⇒ OM = √(R² - 64)
h = R + OM
R + √(R² - 64) = 16
√(R² - 64) = 16 - R |^2, R ≥ 8
R² - 64 = 256 - 32R + R²
32R = 320 |:32
R = 10 (ед.)
* В решении получилось, что h = CD = 16 ед. ⇒ данная трапеция прямоугольная.
#SPJ1