Якщо ми знаємо дві сторони трикутника та кут між ними, то можемо використовувати теорему косинусів для знаходження третього кута. Згідно з цією теоремою:

cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc),

де A - кут між сторонами b та c, a - третя сторона трикутника, яку ми шукаємо, b та c - відомі сторони.

Таким чином, для знаходження кутів трикутника АВС ми можемо застосувати теорему косинусів двічі:

cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

cos B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)

cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

Дано AB = 4 см, BC = 12 см, та кут A = 80°. Отже, застосовуючи першу формулу, маємо:

cos A = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)

cos 80 = (4^2 + 12^2 - a^2) / (2 x 4 x 12)

0.1736 = (16 + 144 - a^2) / 96

0.1736 x 96 = 160 - a^2

16.65 = 160 - a^2

a^2 = 143.35

a = 11.97 (до двох знаків після коми)

Тепер ми можемо знайти кути B та C, застосовуючи другу та третю формули відповідно:

cos B = (a^2 + c^2 - b^2) / (2ac)

cos B = (11.97^2 + 12^2 - 4^2) / (2 x 11.97 x 12)

cos B = 0.6428

B = arccos(0.6428)

B = 49.61° (до двох знаків після коми)

cos C = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab)

cos C = (11.97^2 + 4^2 - 12^2) / (2 x 11.97 x 4)

cos C = 0.9659

C = arccos(0.9659)

C = 14.39° (до двох знаків після коми)

Отже, кути трикутника АВС дорівнюють A = 80°, B = 49.61° та C = 14.39° (до двох знаків після коми).