Verified answer

По условию, сумма цифр a и b делится на 7:

[tex]a+b=7n,\ n\in\mathbb{N}[/tex]

Рассмотрим заданное число:

[tex]\overline{aba}=100a+10b+a=101a+10b=98a+3a+7b+3b=[/tex]

[tex]=(98a+7b)+(3a+3b)=7(14a+b)+3(a+b)=7(14a+b)+3\cdot 7n[/tex]

Заметим, что каждое слагаемое в преобразованном выражении содержит множитель 7. Следовательно, каждое слагаемое, а значит и все выражение в целом, делится на 7.

[tex](7(14a+b)+3\cdot 7n)\,\vdots\ 7 \Rightarrow \overline{aba}\ \vdots\ 7[/tex]

Если число делится на 7, то соответствующий остаток при делении равен 0.

Ответ: 0