!! Розв'язок бажано без коренів !! У прямокутному трикутнику ABC кут С прямий, АС = 24 см, кут В вдвічі більший за кут А. Катет ВС продовжили за вершину В на відрізок ВМ так, що ВМ = АВ . Знайдіть AM.
Answers & Comments
Аккаунт удален
Спочатку знайдемо кути трикутника. З оголошенням, що кут В вдвічі більший за кут А, маємо:
∠B = 2∠A
Також, оскільки кут С прямий, то маємо:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
Замінюючи ∠B з першого рівняння, отримаємо:
∠A + 2∠A + 90° = 180°
3∠A = 90°
∠A = 30°
Отже, маємо:
∠B = 2∠A = 60°
∠C = 90°
Далі, звернемо увагу на те, що трикутник ABC є прямокутним, тому за теоремою Піфагора маємо:
AB² + BC² = AC²
Але ми знаємо, що АС = 24, тому:
AB² + BC² = 24²
AB² + (AB + BM)² = 576 (оскільки BM = AB)
AB² + AB² + 2AB·BM + BM² = 576
2AB² + 2AB·BM + BM² = 576
AB² + AB·BM + AB·BM + BM² = 288
(AB + BM)² = 288
AB + BM = √288
AB + BM = 12√2
Але ми знаємо, що ∠B = 60°, тому у трикутнику ВМС маємо:
BC = BM + MC = BM + BC·tan(60°)
Але ми також знаємо, що ∠A = 30°, тому у трикутнику ABC маємо:
Answers & Comments
∠B = 2∠A
Також, оскільки кут С прямий, то маємо:
∠A + ∠B + ∠C = 180°
Замінюючи ∠B з першого рівняння, отримаємо:
∠A + 2∠A + 90° = 180°
3∠A = 90°
∠A = 30°
Отже, маємо:
∠B = 2∠A = 60°
∠C = 90°
Далі, звернемо увагу на те, що трикутник ABC є прямокутним, тому за теоремою Піфагора маємо:
AB² + BC² = AC²
Але ми знаємо, що АС = 24, тому:
AB² + BC² = 24²
AB² + (AB + BM)² = 576 (оскільки BM = AB)
AB² + AB² + 2AB·BM + BM² = 576
2AB² + 2AB·BM + BM² = 576
AB² + AB·BM + AB·BM + BM² = 288
(AB + BM)² = 288
AB + BM = √288
AB + BM = 12√2
Але ми знаємо, що ∠B = 60°, тому у трикутнику ВМС маємо:
BC = BM + MC = BM + BC·tan(60°)
Але ми також знаємо, що ∠A = 30°, тому у трикутнику ABC маємо:
AB = AC·sin(30°) = 24/2 = 12
Таким чином:
BC = BM + BC·√3
BM = BC·(√3 - 1)
AB + BM = 12√2
12 + BC·(√3 - 1) = 12√2
BC·(√3 - 1) = 12√2 - 12
BC = (12√2 - 12)/(√3 - 1) ≈ 6,7
А тому:
AM = AB + BM = 12 + BC·(√3 - 1) ≈ 18,3
Отже, AM ≈ 18,3 см.