Verified answer

Ответ:

Доказано, что точки М и К являются серединами сторон АВ и ВС СООТВЕТСТВЕННО.

Объяснение:

Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника ABC в точках М и К соответственно. Вершины данного треугольника равноудалены от прямой МК. Докажите, что точки М и К являются серединами сторон АВ и ВС СООТВЕТСТВЕННО.

Дано: ΔАВС;

М ∈ АВ; К ∈ ВС;

Вершины ΔАВС равноудалены от прямой МК.

Доказать: АМ = МВ; ВК = КС.

Доказательство:

• Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

⇒ АН ⊥ МК; ВЕ ⊥ МК; СР ⊥ МК; АН = ВЕ = СР.

1. Рассмотрим ΔАНМ и ΔВЕМ - прямоугольные.

АН = ВЕ (условие)

• Вертикальные углы равны.

⇒∠НМА = ∠ВМЕ (вертикальные)

ΔАНМ = ΔВЕМ (по катету и острому углу)

• В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

⇒ АМ = МВ

2. Рассмотрим ΔСРК и ΔВЕК - прямоугольные.

СР = ВЕ (условие)

⇒∠СКР = ∠ВКЕ (вертикальные)

ΔСРК = ΔВЕК (по катету и острому углу)

⇒ СК = КВ.

АМ = МВ; СК = КВ

⇒ точки М и К являются серединами сторон АВ и ВС СООТВЕТСТВЕННО.