Ответ:

Угол CAD равен 70°

Объяснение:

Требуется найти угол CAD.

Дано: ΔАВС - равнобедренный;

∠А = ∠С = 80°; АВ = ВС;

D ∈ BC; BD = AC.

Найти: ∠CAD

Решение:

Дополнительное построение:

На стороне АВ построим равносторонний треугольник АВН.

Соединим точки Н и С.

1. Рассмотрим ΔАВС - равнобедренный.

• Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠АВС = 180° - (80° + 80°) = 20°

2. Рассмотрим ΔАВН - равносторонний.

⇒ ∠АВН = ∠ВАН = ∠ВНА = 60°

∠СВН = 60° - ∠АВС = 60° - 20° = 40°

3. Рассмотрим ΔСВН.

АВ = ВС (условие)

АВ = ВН (построение)

⇒ ВС = ВН

ΔСВН - равнобедренный.

• Углы при основании равнобедренного треугольника равны.

⇒ ∠ВСН = ∠ВНС = (180° - 40°) : 2 = 70°

⇒ ∠АНС = 70° - 60° = 10°

4. Рассмотрим ΔАНС.

∠НAС = 80° - 60° = 20°

∠АНС = 10°

⇒ ∠АСН = 180° - (20° + 10°) = 150°

5. Рассмотрим ΔАВD и ΔАНС.

BD = AC (условие)

АВ = АН (построение)

∠АBD = ∠HAC = 20°

⇒ ΔАВD = ΔАНС (по двум сторонам и углу между ними, 1 признак)

∠ADB = ∠ACH = 150° (как соответственные элементы.

6. Рассмотрим ΔАDC.

• Смежные углы в сумме равны 180°.

⇒ ∠ADC = 180° - ∠ADB = 180° - 150° = 30°

∠ACB = 80°

⇒ ∠DAC = 180° - (80° + 30°) = 70°

Угол CAD равен 70°